“¿Quién de nosotros no quisiera levantar el velo tras el cual yace escondido el futuro y asomarse, aunque fuera por un instante, a los próximos avances de nuestra ciencia y a los secretos de su desarrollo ulterior en los siglos futuros? ¿Cuáles serán las metas particulares que tratarán de alcanzar los líderes del pensamiento matemático de las generaciones futuras? ¿Qué nuevos métodos y nuevos hechos nos depararán los siglos por venir en el ancho y rico campo del pensamiento matemático?” Y así dio comienzo David Hilbert a su intervención en el Congreso internacional de Matemáticas de París celebrado en el año 1900.

David Hilbert

Problemas matemáticos

El desarrollo de la matemática ha sido posible gracias al planteamiento y resolución de problemas a lo largo de la historia. Los problemas más importantes en matemáticas podemos clasificarlos en cuatro grandes tipos:

  • Problemas que dan lugar al desarrollo de las matemáticas: Como por ejemplo ocurre con los típicos problemas clásicos de cálculo de áreas y volúmenes. Nuevas herramientas de cálculo han hecho que se avance en este sentido dejando obsoletos antiguos métodos de cálculo.
  • Problemas que dan lugar a la aparición de nuevas ramas de la matemática. Uno de los más conocidos es el problema de los siete puentes de Koenigsberg resuelto por el matemático suizo Leonhard Euler. Este problema dio lugar al origen de una rama de las matemáticas llamada Topología.
  • Problemas que han provocado rupturas epistemológicas: Como por ejemplo la aparición de geometrías no euclídeas.
  • Problemas que han abierto una crisis en los fundamentos de las matemáticas como, por ejemplo, la hipótesis del continuo y el Teorema de Gödel.

Podemos afirmar que los problemas son una parte imprescindible de las matemáticas, de hecho, son la razón de ser de esta ciencia.

Cuando el calendario marca la entrada de un nuevo milenio siempre hay matemáticos que no pierden la oportunidad de analizar el camino recorrido por la matemática hasta ese momento y vaticinar que les deparará el futuro. Sin duda fue David Hilbert (1862-1943) el matemático que consiguió más impacto con este tipo de augurios. Aunque posteriormente otros matemáticos como John Von Neumann han intentado enumerar una lista de problemas influyentes para los próximos años, ninguno ha conseguido el impacto mediático de Hilbert.

Corría el año 1900 y David Hilbert era entonces un matemático de treinta y ocho años con una gran reputación a sus espaldas. El 8 de Agosto del año 1900 David Hilbert pronunció su discurso en el Congreso Internacional de Matemáticas. En este discurso Hilbert hizo una reflexión sobre la importancia de los problemas para el desarrollo de la matemática, y dio a conocer una lista de 23 problemas (todos ellos estaban por resolver en aquel momento) que según él serían muy influyentes en la matemática del siglo XX.

Los 23  problemas sugeridos por Hilbert provienen de los diferentes sectores de la matemática y en ellos se puede observar fácilmente la profundidad y complejidad de su contenido. En ellos aparecen conceptos aún por estudiar como la hipótesis del continuo, la conjetura de Goldbach o la trascendencia de las potencias de números algebraicos.

Aunque Hilbert consideró un total de 23 problemas,  por petición de Minkowsky y Hurwitz, Hilbert presentó 10 problemas con bastante detalle ilustrándolos con pequeñas sinopsis de sus orígenes y significado. Posteriormente Hilbert dio una versión escrita de la charla en la que aparecían los 23 problemas completos.

Los problemas podemos clasificarlos en:

  • Fundamentos de las matemáticas. (Problemas del 1 al 6 y problema 18)
  • Teoría de números (Problemas del 7 al 12)
  • Problemas de álgebra y geometría analítica. (Problemas del 13 al 17)
  • Problemas de análisis (problemas del 19 al 23)

Aunque los problemas son de gran calado matemático y por tanto de difícil comprensión para los profanos, esta es la lista muy simplificada de los 23 problemas que planteó Hilbert.

  1. Problema de Cantor sobre el cardinal del continuo.
  2. La compatibilidad de los axiomas de la aritmética.
  3. La igualdad de los volúmenes de dos tetraedros de igual base e igual altura.
  4. El problema de la distancia más corta entre dos puntos. ¿Es la línea recta la distancia más corta entre dos puntos, sobre cualquier superficie, en cualquier geometría?
  5. Establecer el concepto de grupo de Lie, o grupo continuo de transformaciones, sin asumir la diferenciabilidad de las funciones que definen el grupo.
  6. Axiomatización de la física. ¿Es posible crear un cuerpo axiomático para la física?
  7. La irracionalidad y trascendencia de ciertos números como  el número e o pi.
  8. El problema de la distribución de los números primos.
  9. Demostración de la ley más general de reciprocidad en un cuerpo de números cualesquiera.
  10. Establecer métodos efectivos de resolución de ecuaciones diofánticas.
  11. Formas cuadráticas con coeficientes algebraicos cualesquiera.
  12. La extensión del teorema de Kronecker sobre cuerpos abelianos a cualquier dominio de racionalidad algebraica.
  13. Imposibilidad de resolver la ecuación general de séptimo grado por medio de funciones de sólo dos argumentos.
  14. Prueba de la condición finita de ciertos sistemas completos de funciones.
  15. Fundamentación rigurosa del cálculo enumerativo de Schubert o geometría algebraica.
  16. Problema de la topología de curvas algebraicas y de superficies.
  17. La expresión de formas definidas por sumas de cuadrados.
  18. Construcción del espacio de los poliedros congruentes.
  19. Las soluciones de los problemas regulares del cálculo de variaciones, ¿son siempre analíticas?
  20. El problema general de condiciones de contorno de Dirichlet
  21. Demostración de la existencia de ecuaciones diferenciales lineales de clase fuchsiana, conocidos sus puntos singulares y grupo monodrómico.
  22. Uniformidad de las relaciones analíticas por medio de funciones automórficas: siempre es posible uniformizar cualquier relación algebraica entre dos variables por medio de funciones automorfas de una variable.
  23. Extensión de los métodos del cálculo de variaciones.

Aunque Hilbert vislumbró el desarrollo de algunas partes de las matemáticas, es cierto que a lo largo del tiempo han surgido algunas áreas de investigación que hoy día son fundamentales en la matemática y que Hilbert no fue capaz de intuir, sin embargo no hay que quitarle importancia al hecho de que fueron muchos los matemáticos que se lanzaron a resolver algunos de los problemas propuestos por Hilbert y ese hecho ha provocado el desarrollo de algunas áreas de las matemáticas. Algunos de los matemáticos que han trabajado estos problemas son matemáticos de la talla de Gelfond, Artin, Bernstein, Birkhoff por poner algunos ejemplos. Hay que destacar que algunos de los problemas sobrevivieron hasta los años 50 o 60 y matemáticos como Cohen Kolmogorov, o Zariski entre otros estuvieron trabajando en ellos.

Durante el comienzo del siglo XX hubo una tendencia generalizada a la abstracción y a la axiomática. Estos cambios fueron atribuidos en parte a Hilbert. En aquellos momentos a muchos matemáticos, entre ellos Hilbert les preocupaba la constante fragmentación que se estaba realizando en las matemáticas ya que según ellos e perdía la visión universal de ésta. Según Klein el último matemático en tener una visión general de la matemática fue Gauss. Posteriormente los matemáticos han considerado a Poincaré como el Gauss de su época.

Lo cierto es que las matemáticas se expanden a medida que se resuelven problemas y se abren nuevas vías de investigación gracias al resurgimiento de nuevos planteamientos y de nuevas incógnitas por determinar. Por eso los problemas son los grandes artífices de la expansión de las matemáticas.

En palabras del propio Hilbert existen buenos problemas (problemas útiles y que aportan algún aspecto importante para la expansión de la matemática) y existen problemas estúpidos (problemas estrechos, mal plantados y que no aportan nada a las matemáticas) y los problemas difíciles, en ocasiones, también pueden ser estúpidos.

Autor: Francisco Morante Quirantes @fdetsocial

Co-fundador del blog divulgativo de FdeT  

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