Noche de reflexión en Halloween, y para ello queremos felicitar esta noche y su tradición pagana tan antigua como el origen de la cultura con esta sugerente postal matemática. La motivación de la autora es divulgar las matemáticas con el sentido del humor creando una postal que narra una historia, un tanto onírica.

Nuestra protagonista es la botella de Klein, en este caso representa a un adolescente, ¿y qué es una botella de Klein?, es un objecto matemático que se encuentra en la cuarta dimensión y en dimensiones superiores, un objecto que si lo cortamos por la mitad es homeomorfo a dos bandas de Möbius pegadas, como la banda de Möbius este objecto solo tiene una cara, y tiene borde, en la tercera dimensión vemos que intersecta consigo mismo, y esto es imposible, porque solo tiene una cara, es por ello que necesita un grado más de libertad, una dimensión más, por eso solo existe en dimensiones altas.

Pues bien nuestro adolescente Klein ha decidido disfrazarse de teorema, justo es el favorito de la artista, el teorema de clasificación de superficies que dice así:

Asi que hay un cuchillo fractal que corta la botella de Klein en dos, esto es una pequeña “licencia poética”, porque las superficies en topología se pueden deformar, pueden cambiar su forma, pero lo que no podemos hacer nunca es romperlas, como la suma de dos bandas de Möbius da la botella de Klein lo que hemos hecho es deshacer la suma para volver a las bandas, con esto ya tenemos la suma conexa de un número finito de planos proyectivos (Nh), y al cortar a nuestro botella de Klein humanizada, representada por un adolescente tiene el aspecto de un zombi, hemos omitido la sangre, porque al tener solo una cara nuestro objecto matemático no puede contener nada en su interior, porque esto implica que el exterior y el interior es lo mismo. Y al estar medio muerto nuestro adolescente-Klein tiene en la cabeza su mitad un donut y su otra mitad una taza, ya que topológicamente son equivalentes.

Fig 1: Equivalencia Taza-donut. Fotomontaje de la autora de la postal

Aquí tenemos una demostración visual de las transformaciones que llevan de una taza a un donut.

Fig 2: Transformaciones del donut en la taza. Imagen manipulada con el Photoshop

 

Nuestra botella de klein es la suma conexa de dos planos proyectivos que son las bandas de Möbius, y el colgante es media esfera, la media luna, que si sumamos las dos mitades tenemos una luna llena que representa la esfera del teorema.

¿Y qué es un cuchillo fractal?, ¿qué es el cuchillo que corta a la botella de Klein?.

Fig.3: Cubertería fractal diseñada por LhoghoNurbs

Con el pseudónimo de LhoghoNurbs, diseñó una cubertería fractal, nuestro cuchillo de Koch sigue la siguiente curva fractal relativa a un fractal de semejanza.

Con el pseudónimo de LhoghoNurbs, diseñó una cubertería fractal, nuestro cuchillo de Koch sigue la siguiente curva fractal relativa a un fractal de semejanza.

Fig 4: 6 iteraciones de la curva de Koch.

 

 

El filo del cuchillo de Koch correspondería a la cuarta iteración, y con él se cortaría la botella de Klein generando dos bandas de Möbius. Como vemos en la siguiente imagen.

Fig 5: Suma conexa de dos bandas de Möbius generan una botella de Klein. Imagen de la autora de la postal

Nuestro paisaje es un fotomontaje de una noche estrellada donde se ve la vía láctea, y luego tenemos una formación rocosa llamada Mobius Arch, en California (USA), que presenta una forma similar a una banda de Möbius, es una foto de Philip Colla, que es un fotografo frelance que fotografía la naturaleza de manera impresionante.

Y por supuesto al ser una noche estrellada que no falte la luna llena, que en este caso es la cara oculta de la luna, porque tiene su significado de lo oculto, de lo mágico y de un mundo invisible de sensaciones, sentimientos y deseos oníricos que no vemos.

Fig 6: Foto de la cara visible de la luna versus la cara oculta. NASA

 

Y por supuesto no puede faltar la calabaza que representa a Halloween con las palabras Truco o tracto, y las llamas en su interior.

Esperamos que les guste esta postal topológica que con ella hemos querido divulgar el teorema de Clasificación de Superficies. Una bonita manera de divulgar las matemáticas con un sentido del humor inteligente.

Referencias

Mascaró, Francisca. Tema 4. Superfícies. Geometría y Topología de Dimensiones bajas. (Asignatura optativa de la licenciatura en Ciencias Matemáticas de la UV).

Kleinbotte. Glass Klein Botlle for sale.

http://www.kleinbottle.com/sliced_klein_bottles.htm

La cubertería fractal. Blog Cocina y Matemáticas. Septiembre 26, 2012.

https://cocinaymatematicas.wordpress.com/2012/09/26/la-cuberteria-fractal/

Philip Colla. Oceanlight.

http://www.oceanlight.com/

La cara oculta de la luna. Taringa.

https://www.taringa.net/posts/ciencia-educacion/18505544/La-cara-oculta-de-la-luna.html

Luna Networks. Julio 31, 2013.

http://lunarnetworks.blogspot.com.es/2013/07/

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