RESUMEN

El presente artículo expone la importancia que tienen las demostraciones en el campo de las Matemáticas a través de algunos ejemplos básicos y conceptos elementales.

Palabras Clave: Matemáticas, Razonamiento, Demostración, Lógica, Ciencia, Educación, Reducción al Absurdo, Inducción, Retroceder-Avanzar, Construcción.

Las Demostraciones en Matemáticas

 “Las matemáticas no son una marcha cautelosa a lo largo de una carretera bien despejada, sino un viaje por un desierto desconocido en el que los exploradores se pierden a menudo”.

[W. S. Anglin  (1949)]

INTRODUCCIÓN

La matemática es una ciencia formal, pues al igual que la lógica estudia ideas, a diferencia de la física, química y sociología que estudian hechos, y una de sus más grandes propiedades es la precisión. La Matemática es un lenguaje a base de reglas  estructuradas y bien definidas.

Como menciona Solow (2009), el objetivo del Matemático es descubrir y comunicar ciertas verdades, las matemáticas son el lenguaje del Matemático, y una demostración es el método para comunicar una verdad a otras personas que “hablan” el mismo lenguaje.

Hay ineficacia  para comunicar demostraciones de forma clara entre maestros y estudiantes de todas las áreas de la Matemática, y esto desemboca en un enorme bache, ya que es una parte fundamental en el proceso del razonamiento matemático, desarrollar una capacidad creativa, intuitiva y sin dejar al lado la experiencia en conjunto con el estudio de las diversas técnicas para las demostraciones matemáticas, permitirá al estudiante de dicha ciencia, obtener una visión más profunda del universo matemático de su entorno y estudiar cualquier tema por cuenta propia, y así transmitir verdades matemáticas conocidas y desconocidas.

Conceptos

Es fundamental, entender conceptos base como lo son el teorema, el lema, el corolario y otros, aquí presentamos una definición breve pero concisa de terminología  elemental en  las demostraciones matemáticas.

Proposición. Enunciado de una hipótesis o suposición, y de una tesis o conclusión, que es consecuencia de la hipótesis.

Teorema. Es una proposición que para ser evidente necesita demostración.

Lema. Proposición Preliminar utilizada en la demostración de un teorema.

Corolario. Consecuencia es un teorema la verdad del cual se deduce simplemente de otro ya demostrado.

Hipótesis. Es una proposición de la que se parte para comprobar la veracidad de una tesis mediante argumentos válidos

Axioma. Enunciado que se acepta sin demostración Formal.

Postulado. Principio que se admite como cierto sin necesidad de ser demostrado y que sirve como base para otros razonamientos.

¿Qué es una Demostración Matemática?

Un enunciado en forma de afirmación que puede ser verdadero o falso, y una demostración Matemática, es un razonamiento probatorio expresado en lenguaje matemático, que debe incluir los suficientes detalles matemáticos a fin de resultar convincente como lo menciona Solow (2009).

Ejemplos de Enunciados:

  1. 1=0
  2. Existe un ángulo t tal que cos(t)=t.
  3. ax2+bx+c=0

Existen diversas técnicas de demostración, cuyo uso está sujeto a las necesidades de la afirmación y los elementos vinculados a ella, podemos mencionar:

  • Método Retroceder Avanzar
  • Reducción al Absurdo
  • Contrapositivo
  • Inducción
  • Etc.

En el presente artículo, no existe intención de estudiar a profundidad las técnicas de demostración a detalle, pero si compartir algunos ejemplos clásicos de demostraciones, como podemos apreciar en los siguientes ejemplos:

Ejemplo I de Demostración mediante el Método Retroceder Avanzar:

Proposición: Si el Triángulo XYZ con catetos de longitudes x y y e hipotenusa de longitud z tiene área z2/4, entonces el triángulo XYZ  es isósceles.

Imagen I. “Demostración Mediante El Método Retroceder Avanzar”

Ejemplo II de Demostración mediante el Método Reducción al Absurdo

Consiste en partir de un argumento o enunciado, luego mostrar que conduce a una contradicción, esto implica que el argumento o enunciado es falso.

Proposición: Los Números Primos son Infinitos.

Supongamos que “P” es el Número Primo más grande, construiremos un Número “Q”  donde multiplicaremos a todos los Números Primos hasta el último “P” y sumaremos 1, de tal manera que:

Es evidente que “Q” no es divisible por ningún primo pues siempre daría como residuo al 1 luego “Q” es divisible sólo por 1 y por sí mismo, es decir, “Q” es un Número Primo.

Por otra parte “Q” es mayor que “P”. Luego “P” no es el mayor número primo. Por tanto no puede existir un Número Primo que sea el mayor, por lo tanto son infinitos los números primos.

Ejemplo III de Demostración mediante el Método Inducción

Es un método de demostración matemática que se utiliza para probar y/o demostrar que algunas operaciones o proposiciones se verifican para cualquier número natural.

Proposición: 

Pruebe que para todo número natural “n”  1 + 2 + … + n  = n*(n+1)/2.

CONCLUSIONES

  • La matemática es una ciencia formal, pues al igual que la lógica estudia ideas, a diferencia de la física, química y sociología que estudian hechos, y una de sus más grandes propiedades es la precisión. La Matemática es un lenguaje a base de reglas  estructuradas y bien definidas.
  • Como menciona Solow (2009), el objetivo del Matemático es descubrir y comunicar ciertas verdades, las matemáticas son el lenguaje del Matemático, y una demostración es el método para comunicar una verdad a otras personas que “hablan” el mismo lenguaje.
  • Hay ineficacia para comunicar demostraciones de forma clara entre maestros y estudiantes de todas las áreas de la Matemática, y esto desemboca en un enorme bache, ya que es una parte fundamental en el proceso del razonamiento matemático, desarrollar una capacidad creativa, intuitiva y sin dejar al lado la experiencia en conjunto con el estudio de las diversas técnicas para las demostraciones matemáticas, permitirá al estudiante de dicha ciencia, obtener una visión más profunda del universo matemático de su entorno y estudiar cualquier tema por cuenta propia, y así transmitir verdades matemáticas conocidas y desconocidas.

BIBLIOGRAFÍA:

  • Introducción al Razonamiento Matemático (2009). Daniel Solow. Ed. Limusa.
  • Enciclopedia en Línea de Secuencias Enteras (2018). Recuperado de:  http://oeis.org.
  • Euclides (2018). Recuperado de:   http://euclides.org/
  • Demostrando por Inducción (2018).Francisco Ruiz Benjumeda. Recuperado de:  http://www.ommenlinea.org/wp-content/tzaloa/articulos/artic_1_3.pdf
  • Wikipedia (2018). Recuperado de:   http://wikipedia.org

Autor: José de Jesús Camacho Medina

Sociedad Científica Fresnillense A.C. 

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