NÚMEROS PRIMOS ENIGMAS Y APLICACIONES

 “Los matemáticos han intentado en vano, hasta la actualidad, descubrir algún orden en la secuencia de números primos, y tenemos razones para creer que se trata de un misterio que la mente humana nunca resolverá.

[Leonhard Euler (1707-1783)]

INTRODUCCIÓN

Desde tiempos antiquísimos el Hombre ha buscado respuestas a las inquietudes que le ha generado el mundo exterior, una curiosidad innata le ha permitido cuestionarse sobre como funcionan los mecanismos de la naturaleza, como afirma Torres (2008),  la inquietud, permitió la aparición de conceptos abstractos en la mente del ser humano. Cuando el hombre desarrolla la capacidad de darle sentido racional a las cosas, nace el concepto de cantidad.

Conforme el desarrollo de las diversas culturas en el mundo como la griega, romana, babilónica, egipcia, maya, china y otras, se representó al concepto de cantidad en una gran diversidad de notaciones hasta establecer una simbolismo formal.
Son muchas las civilizaciones que se interesaron por los números por distintas razones, por mencionar algunas, la astronomía, el cómputo del tiempo, prácticas inmediatas o incluso el esoterismo.
Por mencionar un ejemplo, Los Griegos, tenían una explicación de la realidad basada en los números. Filolao, filósofo pitagórico, resume perfectamente el papel tan importante que se le otorgaba:

“El número reside en todo lo que es conocido. Sin él es imposible pensar nada ni conocer nada.”

 El hombre, desde la antigüedad, hacia marcas para representar cantidades, por ende la facultad del conteo está implícita en la aparición del número, también advirtió que todos los conjuntos de objetos o de seres tienen una cualidad en común llamada número, con independencia de la naturaleza de los objetos o de los seres que lo componen.

Los números naturales son aquellos que solemos utilizar para contar cosas de manera simple, y fueron los primeros que surgen en las diversas culturas del mundo, en el tratamiento de las cantidades,  las actividades de contar y ordenar son elementales.

El Número natural es el que sirve para designar la cantidad de elementos que tiene un cierto conjunto, los números naturales son infinitos y son conocidos también como conjunto base de la teoría de números, se representan  por  N:

N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7…}

Teoría de Números

La Teoría de Números  es aquella rama de las matemáticas que se centra  en el estudio de cinco pilares: Números Naturales, Divisibilidad, Funciones Aritméticas, Teoría de las Congruencias y  Fracciones Continuas. 

Según Abánades (2004), Los griegos llegaron a desarrollar una teoría de números pura guiada por criterios estrictamente matemáticos en el sentido moderno de la palabra. Los griegos descubrieron las leyes básicas de la aritmética y los nombres de Diofanto, Euclides y Pitágoras salen a relucir sin lugar a dudas.

Pacheco (2004) afirma que La Moderna Teoría de Números nace como disciplina  científica  independiente con la obra «Disquisitiones Arithmeticae» escrita en 1801 por el matemático alemán Carl Friedrich Gauss. Fue el propio Gauss  quien afirmó que: «La  Matemática es la reina de las ciencias y la Teoría de Números es la reina de las Matemáticas».

Los principales precursores de la teoría de Números Moderna se muestran en la siguiente imagen:

Figura  I. “Precursores de la Moderna Teoría de Números”

 LOS NÚMEROS PRIMOS 

Du Sautoy (2007) afirma que en la realidad, los números aparecen por todas partes, constituyen un papel fundamental en nuestro quehacer cotidiano, incluso nos ayudan a comunicarnos y con ellos podemos entender a nuestro alrededor, por lo tanto se asume que los números son imprescindibles y en la  Matemática son cimiento y columna.

Los Números Naturales están formados por los Números compuestos y los Números Primos. Según Rzedowski (2006), los Números Primos tienen dos divisores y son los números naturales mayores a  1  que  pueden dividirse en forma exacta por el uno y por ellos mismos.

Números Primos: Enigmas y Aplicaciones

Figura 2. “Primeros Números Primos”

Ejemplos:

El 3 es un Número Primo, ya que es divisible por 1 y el 3 (tiene dos divisores), en el caso del 9: este no se considera Número Primo, ya que posee más de dos divisores, los cuales son 1, 3 y 9, por lo tanto este número se clasifica como compuesto.

Los primeros veinticinco Números Primos son:

P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 71, 73, 79, 83, 89, 97,…}

Los Números Primos son esenciales porque constituyen la base de la Matemática, todos los demás números se construyen a partir de ellos usando multiplicaciones, a esto se conoce como teorema fundamental de la aritmética, por ejemplo:

10= 2*5,  donde 2 y 5 son Números Primos.

Entonces podemos decir que la mayor importancia de los Números Primos, radica en el hecho de que  son los átomos de la Matemática,  son como Hidrógeno y Oxígeno en el universo de los Números.

Números Primos: Enigmas y AplicacionesFigura 3. “Factorización de un Número Compuesto”

Los Números Primos han llamado la atención de las mentes más brillantes de todos los tiempos, podemos remitirnos a la Antigua Grecia, donde diversos Personajes iniciaron su exploración.

El Matemático Euclides demostró que los Números Primos eran infinitos, probó  su  naturaleza inagotable y  lo hizo a partir del razonamiento lógico conocido como reducción al absurdo, por otro lado, Xatakaciencia (2018) afirma que  Eratóstenes, calculó con bastante exactitud la circunferencia de la Tierra y además inventa su famosa criba para encontrar Números Primos, el cual es un método que consistía en tachar números de una lista haciéndose inviable para números muy grandes.Números Primos: Enigmas y Aplicaciones

Figura 4. “Matemático Griego Euclides”

Uno de las actividades más constantes de todo Matemático es la búsqueda de Patrones, el construir Modelos Matemáticos que permitan interpretar  los acontecimientos de nuestro alrededor desde el punto de vista cuantitativo.

Las mentes más dotadas de diversas épocas, han intentado determinar patrones de comportamiento  de los Números  Primos,  como es el caos de Fermat, Gauss, Euler y muchos otros eruditos de la matemática que se preguntaban con insistencia:

¿Existe un orden en  los Números Primos, qué  patrón siguen?

Si visualizamos a los Números Naturales en Fila, la primera impresión es que los Números Primos parecen disponerse de manera aleatoria, que su comportamiento simpatiza con el azar, como se muestra a continuación:

(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, …)

Aquí es donde nace uno de los más grandes misterios de la Matemática: “El Patrón de los Números Primos”, quizá el más grande,  considerado por  muchos como el Santo Grial de las Matemáticas, es sin lugar a dudas un problema que ha traído de cabeza  a las mejores mentes de  diversas generaciones.

Matemáticos de todas nacionalidades se han adherido a la causa que conlleva entender el  patrón  o la distribución de las entidades primales, a la fecha se desconoce si existe, pero los matemáticos tienen el afán de abrir nuevos horizontes en los terrenos del conocimiento científico y no se dan por vencidos en el sentido de encontrar fórmulas que produzcan a los números primos.

A continuación mostramos un bosquejo histórico7 de los avances que se han tenido en relación a  estas entidades matemáticas que parecen burlarse del orden.

Tabla I. “Avances en relación a los Números Primos”

PERSONAJE AÑO APORTES
Pitágoras

(Grecia)

500 a.c.-

300 a.c.

Funda la escuela Pitagórica, donde se distinguen conceptos como el de Número Primo y Número Perfecto.
Euclides

(Grecia)

325 a.c.- 265 a.c. Demuestra que los Números Primos son Infinitos.
 

Eratóstenes (Grecia)

271 a.c.-

194 a.c.

Inventa el Primer Método para encontrar Números Primos.
 

 

Fermat

(Francia)

 

 

 

1601-1665

Impulsa la Teoría de Números Moderna, idea un método de factorización de números largos, y aporta un teorema importante sobre números primos conocido como: ”El pequeño teorema de Fermat”, mantiene correspondencia con otros matemáticos de la época como Mersenne (1548-1688).
 

Euler

(Suiza)

1707-1783 Fue el primer en notar que la teoría de números puede ser utilizada como herramienta de análisis, demuestra al pequeño teorema de Fermat y comprueba la infinitud de los números primos de forma analítica, mantiene correspondencia sobre asuntos matemáticos con otros estudiosos.
Gauss

(Alemania)

1777-1855 Demuestra el teorema fundamental de la aritmética que dice que todo número compuesto puede representarse como el producto de números primos de una sola forma, conjeturó que cuando x crece ilimitadamente, el numero de primos menores o iguales que x, llamado π(x), es como x/log(x).
Jacques Hadamard

(Francia) y Charles de la Vallee Poussin

(Bélgica)

 

1896

Demuestran la Conjetura de Gauss que en la actualidad se conoce como teorema de Números Primos.
 

 

Riemann

(Alemania)

 

 

1826-1866

Trabajó con la Función Zeta, la cual al ser llevada a  un escenario tridimensional mostraba una conexión con la distribución de los Números Primos, de comprobarse la famosa Hipótesis de Riemann, equivale a obtener el error óptimo en el teorema de los números primos.
Hardy, Littlewood

(Inglaterra) Ramanujan

(India)

1916 Esta asociación de Matemáticos, encuentran fórmulas y resultados claves que relacionan a los Números Primos.
Erdos

(Hungría)

y Selberg

(Noruega)

1948 Aportan demostraciones sobre el teorema de los Números Primos.
 

 

 

2000-Actualidad

Se demuestra la Conjetura débil de Goldbach

La capacidad de cómputo permite encontrar Números Primos de millones de dígitos

Se encuentra cierta Pseudoaleatoriedad en lo que respecta al último dígito de los Números Primos

Se Halla posible conexión entre la física cuántica y los Números Primos.

Se encuentran fórmulas generadoras de Números Primos.

ENIGMAS FAMOSOS SOBRE NÚMEROS PRIMOS

 Conjetura de Goldbach

Christian Goldbach (1690 – 1764), de origen suizo y contemporáneo de Euler, conjeturó que todo número par mayor a 2  puede escribirse como suma de dos Números Primos, hasta la fecha no se ha podido demostrar tal conjetura.

Ejemplos: 4 = 2 + 2,  26 = 3 + 23 = 7 + 19 = 13 + 13

 Conjetura de los primos gemelos

En el conjunto de los números primos  encontramos  parejas de primos cuya distancia es de dos unidades, Por ejemplo: 3 y 5, 5 y 7, 11 y 13, 17 y 19, 29 y 31. A estas parejas primales se les conoce como primos gemelos. La conjetura de los primos gemelos dice que son infinitos, tampoco ha podido ser demostrada hasta la fecha.

 Hipótesis de Riemann

Riemann7, Matemático Alemán y discípulo de Gauss, trabajaba con la Función Zeta, la cual al ser llevada a  un escenario tridimensional mostraba una conexión con la distribución de los Números Primos, emergía entonces una nueva Geometría. La Función Zeta podría descifrar los secretos de los Números Primos, pero es necesario demostrar que la correspondencia de su fórmula con los Números Primos se cumple al infinito, hasta la fecha no se ha demostrado la famosa “Hipótesis de Riemann”, se obsequia un millón de dólares para el que la demuestre.

Figura 5.  “Matemático Riemann y La Función Zeta”

APLICACIONES

Según Canavelli, Gaitán y Carrera (2009) la Matemática está en la base de las más modernas realizaciones tecnológicas, en particular lo está  la Teoría de Números que fundamenta muchas de las tecnologías de la información y comunicación. Tanto la codificación, como la compresión de datos y la criptografía resultan de la aplicación de conceptos y métodos de esta teoría matemática. La teoría6 de números primos ha encontrado aplicación directa en la criptografía. La criptografía estudia métodos para cifrar mensajes secretos, que pudieran ser información sensible, de manera que solo puedan ser descifrados por el receptor y por nadie más que los pudiera interceptar.

Algoritmo RSA

Abánades (2004) comenta que el algoritmo RSA es el método más conocido y seguro en relación a la criptografía. El nombre RSA es acrónimo de Ronald Rivest, Adi Shamir y Leonard Adleman, quienes alrededor de 1977 se dieron cuenta de que los números primos eran la base ideal para un proceso de cifrado fácil y descifrado complejo. Se toman dos números primos muy grandes p y q, digamos que de mas de 200 dígitos cada uno, y se multiplican para encontrar un numero compuesto n muy grande y que se espera sea “imposible” de factorizar con los métodos disponibles, la seguridad  informática financiera global hace uso de tal método.

La Conexión Cuántica

 Existe6 una conexión entre la Hipótesis de Riemann y la física cuántica, recientes descubrimientos vinculan al comportamiento de ciertos elementos a escala atómica con los números primos, parece ser  que hay ciertos patrones en los niveles  energéticos de los átomos grandes,  como los del uranio, que comparten propiedades muy parecidas  con ciertos patrones de los números primos,  se trata de un patrón tan marcado que no puede ser una mera coincidencia.

Conexión Biológica

Las cigarras son especies que pasan 7, 13 o 17 años bajo tierra antes de emerger como adultas a la superficie6, se reproducen y mueren en poco tiempo. Se ha sugerido que dichos insectos han evolucionado para tener ciclos de vida que son números primos, lo cual les favorece para librarse de depredadores o parásitos. De esta manera, si el ciclo de vida del parasito o depredador es bienal o trienal, las cigarras difícilmente se encontraran con su parasito o depredador.

Figura 6. “La Cigarra sobreviviría gracias a los Números Primos”

CONCLUSIONES

Palencia (2008) nos dice que las matemáticas han estado presentes en la historia humana desde los tiempos más remotos. El avance en el conocimiento matemático ha estado, generalmente, ligado a las necesidades de los diferentes aspectos de la actividad humana, en la actualidad, y hacia el futuro, las matemáticas encuentran aplicaciones en cada vez más campos, algunos aparentemente tan poco relacionados como la biología y la industria del vidrio.

  • Los Números Primos son considerados las entidades más importantes en la Matemática, su mayor importancia radica en el hecho de que figuran como los ladrillos de los números compuestos.
  • Estos entes abstractos, encierran enigmas que han sido motivo de estudio por parte de estudiosos de la matemática del todo el mundo, como lo es su distribución, predecir su aparición ha sido realmente inquietante para las mentes más privilegiadas, a la fecha estos Números sigue hostigando a matemáticos de todas razas con diversos acertijos que florecen día con día.
  • Tienen aplicaciones importantes  en las actividades cotidianas del ser humano, como es el caso de la seguridad en las transacciones digitales, y comienzan a vislumbrarse más en los territorios de la física cuántica y la biología.
  • Su estudio ha sido una batalla intelectual a través de los siglos, desde los griegos hasta nuestros días la odisea no ha sido nada sencilla, fórmulas y teoremas se han desbordado por centurias sin dejar a lado los nuevos enigmas que  brotan sin mesura.
  • Encontrar Fórmulas que generen Números Primos ha sido una tarea ardua.
  • Los años venideros serán cruciales para seguir entiendo la naturaleza de estos entes que parecen burlarse del orden y de las futuras aplicaciones que puedan encontrarse.

BIBLIOGRAFIA:

  1. Abánades, A.,(2004). Los números Primos: de Euclides a Internet [En línea]. Centro de Estudios Superiores Felipe II (UCM), Aranjuez, Madrid, Recuperado el 28 de Mayo  de 2018  desde  http://www.escet.urjc.es/~rmunoz/
  2. Canavelli, J. C., Gaitán, M.M., De Carrera, E. (2009, 7 de Enero). TIC´s. Teoría de Números y Formación Docente [en línea]. Paraná, Entre Ríos, Argentina: Facultad Regional Paraná de la Universidad Tecnológica Nacional, Recuperado el 28 de Mayo de 2018, de http:// teyet-revista.info.unlp.edu.ar
  3. Du Sautoy, Marcus (2007). “La Música de los Números Primos”. Acantilado.
  4. Pacheco, J. M., González, L. (2004). Sobre los números Primos. [Extraído el 1 de Junio de 2018]  desde  http://www.acceda.ulpgc.es/
  5. Palencia, , (2008). Y Las matemáticas aplicadas ¿En que se aplican? [En línea], Recuperado el 1 de Junio de 2018 desde  http://www.inteligencianet.com/
  6. Rzedowski, M., (2006). Los enigmáticos números primos [En línea].México: Departamento de Control Automático del Cinvestav, Recuperado el 1 de Junio  de 2018  desde http:// eclipse.red.cinvestav.mx/publicaciones/revista/
  7. Sánchez Muñoz, J. M. (2011). Historia de Matemáticas Riemann y Los Números Primos. Revista de Investigación: Pensamiento Matemático, Universidad Politécnica de Madrid España. Recuperado el 1 de Junio de 2018.
  8. Torres, C., (2008). Números Enteros: Origen e Historia [En línea]. Recuperado el 1 de Junio de 2018 desde  http://edumate.wordpress.com
  9. Xatakaciencia (2018).Biografía de Eratóstenes. Recuperada de: https://www.xatakaciencia.com/quien-es/eratostenes-y-la-medicion-del mundo
  10. Google Imágenes (2018). Recuperado de www.google.com/imagenes

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