Es sorprendente lo que uno puede encontrar en matemáticas, el conocimiento brota sin lugar a dudas en el terreno menos pensado, prueba de ello es lo que se suscitó en una de las clases que imparto a nivel licenciatura en cierta universidad de la ciudad de Fresnillo Zacatecas México,   me refiero a la materia de estadística inferencial. Trabajaba en probabilidad clásica con mis alumnos,  desarrollábamos diversos ejercicios aplicando la fórmula de Laplace, aquella que consiste en dividir el número de casos favorables entre el número de casos totales de eventos aleatorios,  resulta que propuse a los estudiantes un ejercicio de probabilidad con tres dados, el cual enuncio a continuación:

“Calcular la Probabilidad de que al lanzar tres dados distinguibles, la suma de los resultados sea un número mayor a doce”.

Mis alumnos se encaminaron a resolver dicho problema en sus libretas,  de igual forma me dispuse en mi escritorio a resolverlo, desarrollé el espacio muestral de dicho evento, el cual constaba de 216 posibles resultados tras calcular una variación combinatoria de 63, después construí el espacio muestral (S) y marque los resultados posibles que cumplían con el requisito del ejercicio,  es decir,  aquellos cuya suma sea mayor a doce, como se muestra en la siguiente figura:

Los Números TriangularesFigura I: Patrón encontrado en espacio muestral de problema probabilista.

Siempre me han fascinado los patrones numéricos, las secuencias de números que presentan un orden en su distribución, una intuición me ordenó contar los casos por columna en el espacio muestral, fue una sublime sorpresa observar como emergía una secuencia que considero poesía pura en matemáticas, me refiero a los números triangulares: 1, 3, 6, 10, 15, 21…

Un número triangular es aquel que puede representarse en forma de triángulo equilátero como se muestra en la figura I. Esta secuencia de números fue estudiada por la escuela Pitagórica en la antigüedad, debido a sus exquisitas propiedades.

Los Números TriangularesFigura II: Primeros términos de los Números triangulares y su disposición en forma de triángulo equilátero con  el modelo matemático que rige su distribución.

Retomando lo del hallazgo, decidí investigar más al respecto en diversas fuentes de información tanto físicas como digitales, no encontré datos relacionados,  aunque tenía ideas en mente que posibilitaban una explicación, tome la decisión de compartir el patrón con colegas matemáticos, lo primero que hice fue publicar el hallazgo en un grupo de internet llamado “Number Theory”, que en español es teoría de números, perteneciente a una red social de profesionales de todo el mundo: Linkedin.

Un profesional de las Matemáticas, cuyo nombre es Geoffrey Campbell, fue la única persona que brindó una posible explicación al patrón encontrado, como se muestras en la figura III.

Los Números Triangulares

Figura III. Comentario del Matemático Campbell sobre el patrón  de los números triangulares  en el grupo “Teoría de Números” de la red social Linkedin.

Según Campbell: “Si las triplas se tratan como si fueran coordenadas del punto de la red en el 3-espacio Euclidiano, las triplas sombreadas serán vistas como representativos de una gráfica de un segmento finito de una región radial infinita limitada por la ecuación x + y + z >= 12. Las triplas marcadas son un conjunto infinito contable con la misma cardinalidad que los números naturales, a menos que me equivoque”.

Otro comentario que recibí al respecto fue por parte Guillermo Elias Martínez Dibene, quien en el grupo de “Matemáticos” de la red social de Facebook (en donde también compartí el hallazgo), complementó las conclusiones del Matemático Geoffrey Campbell como se muestra en la figura IV:

Los Números TriangularesFigura IV: Comentario en el grupo Matemáticos de Facebook sobre el patrón encontrado.

Como paso final decidí  graficar las coordenadas marcadas en el patrón, lo hice tomando en cuenta las siguientes ternas:

(1,6,6);(2,5,6);(2,6,5);(2,6,6);(3,4,6);(3,5,5);(3,5,6);(3,6,4);(3,6,5);(3,6,6);(4,3,6);(4,4,5);(4,4,6);(4,5,4);(4,5,5);(4,5,6);(4,6,3);(4,6,4);(4,6,5);(4,6,6).

El resultado obtenido fue el siguiente casco convexo que se  muestra en la figura V, el cual desprende una belleza triangular  a partir de un cubo en tres dimensiones:Los Números TriangularesFigura V: Casco convexo de las coordenadas del patrón obtenido.

Conclusiones:

  • Se considera un espacio tridimensional (x, y, z) cuya suma sea al menos 12, las ternas sombreadas representarían un segmento finito de una región radial infinita limitada por la ecuación x+y+z>=12.
  • Las ternas (x, y, z)  representan un conjunto infinito contable con la misma cardinalidad que los naturales.
  • Existe proyección en dos dimensiones, cuando al espacio tridimensional coincide con los naturales.
  • El presente artículo no se limita específicamente al sistema decimal, abriendo el telón para que el patrón pueda trabajarse  a otras bases numéricas.

AUTOR DEL ARTÍCULO : Ing. José de Jesús Camacho Medina Miembro de la Sociedad Científica Fresnillense A.C.

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