“Todo es Número”

Pitágoras (Samos 585 a.C. – Metaponte 495 a.C.)

INTRODUCCIÓN

Pitágoras es considerado el primer matemático  puro de la antigüedad, de origen Griego, su aporte más representativo es el famoso Teorema que lleva su nombre: “El Teorema de Pitágoras”, el cual enuncia:

“En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos”

En la siguiente figura presentamos la explicación de dicho enunciado y las ecuaciones que se desprenden de tal teorema:FIGURA I : “Ecuaciones y Representación gráfica del Teorema de Pitágoras”

El teorema de Pitágoras nos dice que si los lados menores los elevamos al cuadrado y los sumamos,  el resultado obtenido será igual al lado más grande elevado al cuadrado en todo triángulo rectángulo, esto nos habla de que si formamos cuadrados con los lados del triángulo rectángulo, la suma de áreas de los cuadrados formados por los lados menores (catetos) será igual al área del cuadrado formado por la hipotenusa(lado mayor), tal como se apreciar en la figura II:

FIGURA II : “Teorema de Pitágoras en término de Áreas”

Existe un caso especial en donde es posible calcular los catetos de un triángulo rectángulo basándonos solo en la hipotenusa, para ello, el requisito fundamental será que los catetos o lados menores sean iguales, es decir que a=b, y ¿cómo podremos darnos cuenta?, desarrollaremos la siguiente metodología:

Supongamos que nos dicen que un Triángulo Rectángulo tiene una hipotenusa c =  √k, donde “k” es un número natural, entonces habremos de hacer lo siguiente para comprobar si es posible calcular los lados solo con este dato:

PASO I. 

Dividimos k/2  y al resultado le llamaremos W, por lo tanto W = k/2.

PASO II.

Si W es un número cuadrado perfecto, es decir se trata de  un número entero que es el cuadrado de algún otro, es decir, un número cuya raíz cuadrada es un número natural que figura en la siguiente lista: {1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400, 441, 484, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900,…} entonces vamos al paso III, de lo contrario este método no se ajusta a tal problema.

PASO III

Como W es un cuadrado perfecto, le extraemos raíz cuadrada √w y al resultado le llamamos p, entonces tenemos que p=√w, donde p>0.

Ya tenemos el valor de los catetos o lados de un triángulo rectángulo y estos serían:

a = b = √w     

Para toda p>0.

Veamos el siguiente ejemplo:

Supongamos que deseamos calcular los catetos o lados del siguiente triángulo rectángulo:

Como c =  √18 entonces en términos de nuestra metodología tenemos que: c =  √k = √18, por lo tanto k=18, calculamos k/2 = 18/2 =9, y asi encontramos a la variable W, la cual es igual a nueve.

W es un número cuadrado perfecto ya que:  W = 9 = 3², al extraer la raíz cuadrada de W obtenemos p,  p = √w = √9 = ±3, como p>0, entonces elegimos la opción +3.

Ya tenemos el valor de los catetos o lados de un triángulo rectángulo y estos serían:

a = b = 3.

En la figura III lo apreciamos de manera irrefutable:

FIGURA III : “Ejercicio de Teorema de Pitágoras “

Demostración de tal hecho:

a² +b² = c² ,  a² +b²  = (√18)² ,   a² +b²  = 18 , a² +b²  = 9 + 9 ,

 a²=9 → a = √9 = ±3, se acepta para toda a>0, entonces a=3.

 b²=9 → b = √9 = ±3, se acepta para toda b>0, entonces b=3.

a² +b² = c²,  c=√(a² +b²)  , c=√(3² +3²) →c=√(9 +9)=√18

¿Por qué funciona este método?

Porque nos encontramos en un caso especial que parte de que el cateto opuesto y el cateto adyacente de un triángulo rectángulo son iguales(habrá solución única), en la siguiente imagen podemos apreciar una explicación visual mediante un cuadrado:

FIGURA IV : “Cuadrado y su relación con Teorema de Pitágoras”

De manera general, podemos descomponer todo número natural “n” como suma de dos cuadrados: n= [√(n/2)]² + [√(n/2)]², y así de esta manera la metodología anterior se puede generalizar para cualquier natural.

Veamos el siguiente ejemplo:

Sea un triángulo rectángulo con hipotenusa c = √5, entonces tenemos que:

a² +b² = c² 

c = √[a² +b²] 

como  c = √5

√5 = √[a² +b²] 

y con la fórmula n= [√(n/2)]² + [√(n/2)]² descomponemos al número 5 en suma de dos cuadrados, 5 = [√(5/2)]² + [√(5/2)]², nos queda entonces:

√{[√(5/2)]² + [√(5/2)]²} = √[a² +b²] 

POR LO TANTO a = b = √(5/2)

¿Y PARA EL CASO DE ENCONTRAR MÁS  SOLUCIONES EN DONDE   a ≠ b?

Para ello podemos hacer uso de la siguiente fórmula que se obtiene del teorema de Pitágoras :

a² + b² = c² , lo cual implica que :  b = √(c² – a²)  

Asumiremos un valor positivo  para “a”  que no se mayor al valor dado de la hipotenusa, como se muestra en el siguiente ejemplo:

Supongamos que tenemos una hipotenusa c = 2√3, AL SUSTITUIRLA EN LA ECUACIÓN Y AL SUPONER UN VALOR PARA “a”, supongamos a=1, tenemos:

b =√((2√3)² – a²) = √(12 – (1)²), entonces b = √(12 – 1) → b = √(11)  y  a=1.

LO CUAL DEMUESTRA COMO SOLUCIÓN VÁLIDA:

 (1)² +√(11)²   = ((2√3))²  →  1 + 11 = 4*3  → 12=12.

OTRO MÉTODO ALTERNATIVO

También, existe otra alternativa para obtener una solución válida de una terna pitagórica, podemos hacer uso de la siguiente fórmula que se basa en el cateto opuesto “a” obtenido como altura en un triángulo equilátero):

a = c *[(√3)/2]

Veamos a continuación un ejemplo:

Sea c = √18

Entonce calculamos “a” con

a = c*[(√3)/2]  = √18*[(√3)/2] = 3 *(√(3/2))

y el lado “b” con teorema de pitágoras:

b = √(c² – a²)  =  √((√18)² – (3 *(√(3/2)))²)  =3 /√2.

Lo cual comprueba que

 [3 *(√(3/2))]² + [3 /√2]² =  (√18)²  →  a² + b² = c² 

CONCLUSIONES

  • Aplicar el álgebra nos permite encontrar expresiones más simples en las diversas tareas matemáticas.
  • Podemos facilitar el cálculo de lados o catetos en un triángulo rectángulo para casos especiales como lo es cuando el cateto opuesto y el cateto adyacente midan lo mismo.
  • Es importante encontrar variantes a los problemas relacionados con la trigonometría para fortalecer el conocimiento de las matemáticas y profundizar en el estudio de la misma.

DATOS PARA CITAR ESTE ARTÍCULO:


José de Jesús Camacho Medina, (2019). ¿Es posible calcular los catetos de un Triángulo Rectángulo dada únicamente la hipotenusa? [en línea]. Disponible en Revista MasScience: https://www.masscience.com/2019/11/20/es-posible-calcular-los-catetos-de-un-triangulo-rectangulo-dada-unicamente-la-hipotenusa/

SOBRE EL AUTOR DEL ARTÍCULO


José de Jesús Camacho Medina Miembro de la Sociedad Científica Fresnillense A.C. 

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