“Las matemáticas tienen belleza y romance. El mundo de las matemáticas no es un lugar aburrido en el que estar. Es un lugar extraordinario; merece la pena pasar el tiempo allí”.

[Marcus du Sautoy]

INTRODUCCIÓN

La media aritmética en Matemáticas, particularmente en estadística es también conocida como promedio o sencillamente media, y se aplica a un conjunto finito de valores o números, su cálculo consiste en sumar al conjunto de datos y al resultado obtenido dividirlo por el total de sumandos o datos, como se puede apreciar en la siguiente fórmula.

Figura I “Fórmula para calcular la Media de un conjunto finito de valores”

En el siguiente ejemplo mostramos como calcular la media de los datos : 1, 2, 15

MEDIA= (1 + 2 + 15) / 3 = 18 / 3 = 6.

La media o promedio se considera una medida representativa de un conjunto de datos, posee muchas ventajas de entre las cuales podemos mencionar:

  • Es la medida de tendencia central más usada a la hora de realizar inferencias sobre poblaciones.
  • Su cálculo es muy simple.

Como posible desventaja podemos decir que:

  • Se ve afectada por valores extremos muy grandes o muy pequeños.

CALCULANDO EL DATO O LOS DATOS DESCONOCIDOS DADA LA MEDIA U OTRAS MEDIDAS

CASO I.  VALOR DESCONOCIDO DADA LA MEDIA

Supongamos que se nos presenta un problema en donde nos dicen que la media es 2 y que los datos de estudio son 1, 2, 2, x, por lo tanto se nos pide hallar el valor desconocido “x”, hacemos lo siguiente:

DATOS CONOCIDOS:

MEDIA  = 2

TOTAL DE DATOS  n = 4

VALORES CONOCIDOS  1, 2, 2

Partimos de la fórmula de la media:

(X1 + X2 + X3 + … + Xn) / n = MEDIA

Sustituimos Valores

(1 + 2 + 2 + x) / 4 = 2

Despejamos “x”

x = (2 * 4) – (1 + 2 + 2 ) = 8 – 5 = 3

Por lo tanto se concluye que el dato desconocido sería 3 y así comprobamos que:

(1 + 2 + 2 + 3) / 4 = 2

De esta manera podemos encontrar una fórmula(a través del álgebra, planteando una ecuación y despejando la variable “x”) que nos permita conocer el dato o valor desconocido dada la media como se puede apreciar en la figura II:

Figura II : “Fórmula general  para calcular dato desconocido dada la media”

CASO II.  VALORES DESCONOCIDOS DADA LA MEDIA

En los casos en donde se proporcione la media y se deseé calcular todos los datos será necesario contar con más información o incluso tener calculada alguna otra medida estadística, veamos a continuación diversas opciones:

2.A


Cuando se proporcione como información:

  • La Media de los Datos
  • Los datos son iguales
  • La cantidad de datos es “n”

Podemos hacer uso de la siguiente  fórmula :

Por ejemplo, queremos conocer los datos de un conjunto  de cinco valores que presenta una media igual 8,mediante la fórmula se concluye que:

X1 = 8, X2 = 8, X3 = 8, X4 = 8, X5 = 8 Por el hecho de que la media = 8.

Aquí la comprobación:

(8 + 8 + 8  + 8 + 8) / 5 = 40 / 5 = 8.

2.B


Cuando se proporcione como información:

  • La Media de los datos
  • Hay una Moda  y es un dato que aparece dos veces
  • La cantidad de datos es “n”
  • El dato mayor o el Menor

Procederemos con un ejemplo para hacerlo más simple:

La media de un conjunto de datos es 3, la moda es igual a 3 y aparece dos veces, el total de datos es 6, además se nos dicen que el dato menor es 1.

Entonces tenemos que (X1 + X2 + X3  + X4 + 3 + 3) / 6 = 3.

Despejamos X1 + X2 + X3  + X4 , nos queda:

(X1 + X2 + X3  + X4 + 3 + 3) / 6 = 6*3 – ( 3 + 3),  X1 + X2 + X3  + X4  = 18 – 6= 12

Entonces tenemos la ecuación X1 + X2 + X3  + X4 =12, la descomponemos de la siguiente manera: (X1 + X2) + (X3  + X4) = 6 +6 , nos queda:

(X1 + X2) = 6 

(X3  + X4) = 6

Como ambas ecuaciones se igualan a seis generamos las diferentes parejas cuya suma nos arroja dicho número sin importar el orden de sus elementos: (0, 6), (1, 5), (2, 4), (3, 3), de estas cuatro opciones descartamos a (3, 3) por que dichos valores pertenecen a la moda, por lo cual nos queda como candidatos a estas parejas para escoger cuatro valores (0, 6), (1, 5), (2, 4), de aquí descartamos a  (0, 6) por que el dato menor es 1, entonces (1, 5), (2, 4) figuran como los otros datos del conjunto, por lo tanto tenemos que:

(1 + 2 + 3 + 3 + 4 + 5) / 6  = 3.

Otro ejemplo:

La media de un conjunto de datos es 2, la moda es igual a 2 y aparece dos veces, el total de datos es 4, además se nos dicen que el dato menor es 1.

Entonces tenemos que (X1 + X2 + 2 + 2) / 4 = 2.

Despejamos X1 + X2 + X3  + X4 , nos queda:

(X1 + X2 + 4) / 4 = 2,  X1 + X2  = 4*2 – 4= 8 – 4 =4.

Entonces tenemos la ecuación X1 + X2 = 4.

Como la ecuación es igual a cuatro generamos las diferentes parejas cuya suma nos arroja dicho número sin importar el orden de sus elementos: (0, 4), (1, 3), (2, 2) de estas tres opciones descartamos a (2, 2) pues dichos valores pertenecen a la moda, por lo cual nos queda como candidatos a estas parejas para escoger cuatro valores (0, 4), (1, 3),  de aquí descartamos a  (0, 4) por que el dato menor es 1, entonces (1, 3), figuran como los otros datos del conjunto, por lo tanto tenemos que:

(1 + 2 + 2 + 3 ) / 4  = 2.

CONCLUSIONES


  • Aplicar el álgebra nos permite encontrar expresiones sencillas y facilitar las diversas tareas matemáticas.
  • La estadística es una rama de las matemáticas que tiene la intención de describir a un conjunto de datos en base al cálculo de medidas desde el punto de vista cuantitativo.
  • La media es considerada una medida estadística representativa, de gran utilidad a la hora de producir inferencias acerca de poblaciones.
  • Es importante encontrar variantes a los problemas relacionados con la media para fortalecer el conocimiento de las matemáticas y profundizar en el estudio de la misma.

DATOS PARA CITAR ESTE ARTÍCULO:


José de Jesús Camacho Medina (2019). Como Encontrar Algún Dato Dada La Media u Otras Medidas [en línea]. Disponible en Revista MasScience: https://www.masscience.com/2019/12/05/como-encontrar-algun-dato-dada-la-media-u-otras-medidas/

SOBRE EL AUTOR DEL ARTÍCULO


José de Jesús Camacho Medina : Sociedad Científica Fresnillense A.C.

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