“Mejor que de nuestro juicio, debemos fiarnos del cálculo algebraico

[Leonhard Euler (1707-1783)]

Según Galdos (1995), una ecuación es toda igualdad que contiene una o más cantidades desconocidas, que reciben el nombre de incógnitas, y que solo se verifica, generalmente, para determinados valores de las incógnitas.

Se dice que varias ecuaciones forman un sistema y el objetivo es encontrar la solución o las soluciones  comunes a todas ellas.

SISTEMA DE   ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS

Es un sistema donde figuran  ecuaciones lineales, y el objetivo es encontrar el valor de las dos incógnitas, como se muestra en el siguiente ejemplo:

5x – 2y = 4

3x + y = 9

x = ? y = ?

Existen varios métodos  para solucionar sistemas de este tipo, de los cuales podemos mencionar:

  • Igualación
  • Sustitución
  • Reducción
  • Gráfico

Dichas metodologías  son inculcadas a nivel de Secundaria y Preparatoria en el tema que se centra en la resolución de ecuaciones, a menudo, los alumnos presentan dificultades para llevar a cabo los pasos que los métodos conllevan , pues los procedimientos implican artificios algebraicos y despejes que suelen ocasionar confusión entre los estudiantes en su  proceso de aprendizaje del álgebra.

MÉTODO SIMPLIFICADO

El presente método, es eficiente y se orienta para sistemas de ecuaciones lineales con solución única, para sistemas incompatibles (sin solución) o indeterminados (infinitas soluciones) se recomienda usar algún otro procedimiento matemático.

Sean a, b, c, d, e, f : Números Reales diferentes de cero.

Tenemos el sistema de dos ecuaciones lineales:

ax + by = c

dx + ey = f

Nos centramos en los coeficientes reales.

a       b        c

d       e        f

Para calcular el valor de la incógnita “x” y “y” usamos las fórmulas:

Para toda b diferente de cero.

Ejemplo I:

Sea el Sistema:

2x – 3y = 4 

x + 4y = 13

Nos centramos en los coeficientes reales.

2   -3     4

1    4      13

a = 2, b = -3, c = 4, d = 1, e = 4, f = 13.

x = [(-3)(13) – (4)(4)] / [(-3)(1) – (2)(4)] = (-39-16) / (-3-8) = -55 / -11 = 5.

= [4 – (2)(5)] / -3 = (4-10) / -3 = -6 / -3 = 2.

La solución del sistemas es (5,2).

Ejemplo II:

Sea el Sistema:

x + y = 3

x + 3y = 7

Nos centramos en los coeficientes reales.

1    1     3

1    3     7

a = 1, b = 1, c = 3, d = 1, e = 3, f = 7.

x = [(1)(7)-(3)(3)] / [(1)(1)-(1)(3)] = (7-9) / (1-3) = -2 / -2 = 1.

= [3-(1)(1)] / 1 = (3-1) / 1 = 2 / 1 = 2.

La solución del sistemas es (1,2).

¿COMO AHORRARNOS LA MEMORIZACIÓN DE LAS ANTERIORES FÓRMULAS?

A continuación mostramos un ejemplo de como desarrollar un sistema de dos ecuaciones lineales basado en el método expuesto pero de manera más sencilla y haciendo uso de una ilustración gráfica:

Nos centramos en los coeficientes reales y resolvemos de forma matricial, en base a dos bloques: el  [1]  y  [2].

Imagen I: Como resolver un sistema de ecuaciones lineales de dos incógnitas 

Recordar que para trabajar la forma matricial se trabaja en base a multiplicaciones, iniciando primeramente con la flecha que apunta al lado derecho, así por ejemplo, el bloque [1] queda:  b*f – c*e y el bloque [2]  b*d – a*e.

En el caso de “y”, esta se calcula teniendo primeramente el valor de “x” y haciendo uso de la fórmula: y = (c – ax) / b

DEMOSTRACIÓN

¿Por qué funcionan las fórmulas?

Sean a, b, c, d, e, f : Números Reales diferentes de cero.

ax + by = c —–(1)

dx + ey = f —– (2)

De (1) despejamos (y)

y = (c – ax) / b —– (1a)

Sustituimos en (2) la ecuación (1a)

dx + e [(c – ax) / b] = f

bdx + ec – aex = bf

bdx – aex = bf – ec

x (bd – ae) = bf – ec

x = (bf – ec) / (bd – ae)

Lo cual implica al ordenar alfabeticamente las variables:

x = (bf – ce) / (bd – ae)  para toda (bd – ae) diferente de cero.

y para la incógnita “y” usamos (1a)

y = (c – ax) / b

para toda b diferente de cero.

CONCLUSIONES

  • El método expuesto en este artículo fue ideado por el autor.
  • Se propone como alternativa de los procedimientos clásicos, este método simple  y comprensible con el firme objetivo de que el alumno de secundaria y bachillerato encuentre más herramientas en el estudio del álgebra.
  • El presente método facilita la tarea de encontrar la solución de sistemas lineales con dos incógnitas, reduciendo los tiempos de cálculo y ahorrando proceso algebraico.
  • La presente metodología es eficiente y se orienta para sistemas de ecuaciones lineales con solución única, para sistemas incompatibles (sin solución) o indeterminados (infinitas soluciones) se recomienda usar algún otro procedimiento matemático.
  • El método presentado en este artículo es un camino para  demostrar  la Regla de Cramer.

DATOS PARA CITAR ESTE ARTÍCULO:


José de Jesús Camacho Medina (2019). Casi Cramer: Como Resolver Un Sistema De Ecuaciones Lineales Con Dos Incógnitas [en línea]. Disponible en Revista MasScience: https://www.masscience.com/2019/12/12/casi-cramer-como-resolver-un-sistema-de-ecuaciones-lineales-con-dos-incognitas/

AUTOR DEL ARTÍCULO:


Profesor e Ingeniero José de Jesús Camacho Medina Miembro de La Sociedad Científica Fresnillense A.C.

BIBLIOGRAFÍA


  1. Consultor Matemático: “Álgebra” (1995). L. Galdós, 1995, Ed. Cultural, España.

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