Resumen

En el artículo se habla sobre el número e, como surgió y cómo es utilizado, también se habla sobre la razón áurea φ (Phi), sobre cómo surgió y como aparece en la naturaleza y es usada, en el artículo se da una  nueva forma de aproximarse a la constante φ (Phi), por medio del número de Euler (e).

  • Introducción

Comenzaremos el artículo hablando acerca de cómo surgieron los números “e” y “φ”, primero hablaremos sobre e.

Los siglos XVI y XVII fueron tiempos en Europa de una gran actividad económica, hubo gran circulación de dinero y con ello hubo una cantidad considerable de préstamos financieros,  Jakob Bernoulli (1654-1705) aborda la cuestión de cómo es que va a aumentando el dinero cuando los intereses en cada periodo de un préstamo son incorporados al capital (capitalización de intereses),  en su obra <<Questiones nonnuallae de usuris>> de 1685, con lo cual obtiene una fórmula general que le permite resolver este tipo de cuestiones, además de las investigaciones hechas por Jakob Bernoulli que le llevaron a ser considerado como el descubridor de la constante “e”, matemáticos como Jobst Bürgi (1552-1632) y John Napier (1550-1617) se aproximaron mucho a dicha constante al trabajar con logaritmos.

El descubrimiento que hace Bernoulli y que muestra en su artículo de 1685 <<Questiones nonnuallae de usuris>>, es que cuando n va creciendo, el resultado de 

     

Se acerca cada vez más a al número e^0.1 = 1.105170918 … en dónde la letra e designa al número irracional 2.71828182845904523536028747135266249775724709369995…

Jakob Bernoulli indicó que si se reemplaza 0.1, por cualquier otro número “b”, entonces el resultado se acerca cada vez más a e^b, si se presta un capital “C”, por ejemplo al 15% de interés compuesto con capitalización continua, entonces se tendría que reembolsar  al  cabo de un año la cantidad de  C multiplicada por (e^0.15).

Ahora hablaremos un poco sobre la razón áurea o número φ, al comparar dos segmentos con diferente longitud mediante cociente obtenemos dicha razón o número áureo, tal y como lo mostraremos a continuación:                            

 

El segmento que se ha mostrado en la figura 1, tiene una longitud total A+B, si comparamos el todo y las partes de la siguiente manera, obtenemos:

                         

Por lo que la razón de A a B es el número irracional algebraico   

La razón áurea es usada en obras de arte, en construcciones, aparece en la naturaleza, en la reproducción de los conejos, de las abejas, en la dinámica de los agujeros negros, etc. 

  • La sucesión de Fibonacci  como una  manera de obtener una aproximación de φ

                                 Fig.2 Los primeros 30 terminos de la sucesión de Fibonacci

 

Sobre la sucesión de Fibonacci se ha hablado mucho y se ha escrito mucho, la sucesión fue dada a conocer en occidente por Leonardo de Pisa también conocido como Fibonacci, como la solución a un problema de la cría de conejos (liber abaci o libro del abaco 1202).

La relación entre está sucesión y la razón áurea φ es ampliamente conocida, ya que al comparar mediante cociente cada termino de la sucesión con el termino anterior a él, se obtiene una mejor aproximación de φ a medida que el número de términos de la sucesión aumenta.

 

La Sucesión de Fibonacci, tiene como  primeros términos al 0 y al 1,  cada término a partir del tercero, es la suma de los dos términos anteriores, es decir es una sucesión que se forma por recurrencia:

0 ,1 ,1, 2 ,3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, …,

 

A continuación mostramos los primeros 25 términos de la sucesión, identificándoles con la letra F y el subíndice que indica el número de término que ocupa el número en dicha sucesión:

 

  • Aproximación a “φ” (Phi), por medio del número de Euler “e”

 Es sabido que el número que conocemos como número de Euler “e”, es un número irracional trascendente, es decir, “e” no es resultado de resolver una ecuación algebraica, mientras que el número áureo φ, que es un número irracional, es un número que surge al resolver una ecuación algebraica, por lo que es un número irracional  algebraico.

A continuación procederemos a dar una aproximación de φ por medio de integrar la función de menos infinito a “e elevado al cuadrado” y una resta de un número racional, la cual nos dará una aproximación de φ que concuerda con el valor real en las primeras 7 cifras.

La cual concuerda con las primeras 7 cifras después del punto decimal con el verdadero valor de φ.

CONCLUSIÓN: Hemos presentado una aproximación de φ la cual concuerda con el valor real a 7 cifras después del punto decimal, esta expresión obtenida es novedosa e interesante, ya que se ha aproximado un número irracional algebraico como φ, por medio de operaciones que involucran a un número irracional trascendente como  “e”.

RECOMENDACIÓN: Recomendamos seguir investigando sobre aproximaciones numéricas a constantes como φ, π y e.

 

  • Referencias bibliográficas.

 

[1] Bell, E. T. (2010). Los grandes matemáticos, Buenos Aires, Losada, 2010.

[2] Boyer, C., Historia de la matemática, Madrid, Alianza Editorial, 2010.

[3] Navarro, S., Del simple cálculo al análisis matemático, Barcelona, RBA, 2012

[4] Pickover, C. A., El prodigio de los números, Barcelona, Ma non troppo, 2002.

[5] Piñeiro, G., El hallazgo de la ley de los grandes números, Barcelona, RBA, 2016

[6]Stewart, I.,  Historia de las matemáticas, Madrid, Crítica, 2008

 

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