Es altamente probable que si le preguntamos a un entusiasta de las Matemáticas (que sepa jugar ajedrez), sobre el vínculo entre este juego de habilidad mental y los números primos, éste responda con la misma pregunta: ¿Cuál es la relación entre el juego de ajedrez y los números primos?, y además sus ojos sean dos ríos a punto de desbordarse por conocer la respuesta. En el presente artículo establecemos un nexo entre el juego que muchas personas llaman «deporte ciencia» y los números de dos divisores.

«El ajedrez es el arte que ilustra la belleza de la lógica»

 

[ Mijaíl Botvínnik (1911-1995), Ajedrecista Soviético ]

INTRODUCCIÓN

Los Números Primos son quizás las entidades más cautivadoras del mundo matemático, todo aquel que se adentra en su estudio, se ve atrapado por su belleza y su misterioso comportamiento. Por otro lado, el ajedrez es un juego hermoso, que invoca a la reflexión, que pone a trabajar las neuronas y que sabe romper los grilletes del aburrimiento. Los embajadores del ajedrez insisten en incluirlo en el catálogo del arte, otros más en cambio, lo sitúan en los predios de la poesía, y hay quienes van más lejos al afirmar que cada jugada es como una nota musical que le da forma a una sutil sinfonía que no le pide nada a las obras de Chaikovski o Beethoven. Si, del ajedrez se pueden decir muchas cosas,entre ellas que es música en silencio que resuena en lo más profundo de nuestro pensamiento, pero nadie niega que es capaz de producir una enorme alegría, por lo menos, de quienes se han adentrado en sus bosques.

Ajedrez y Números Primos, dos conceptos que a primer instancia no parecen tener nada en común, sin embargo, en el presente trabajo, hemos trazado una transversal para conectarlos, le hemos dado forma a un puente para unir a estas dos supuestas «paralelas».

AJEDREZ, NÚMEROS PRIMOS Y LA ESPIRAL DE ULAM 

Según García (2005), el Matemático Polaco Estanislao Ulam, asistía en el año de 1963 a una conferencia que en su opinión era «aburrida»,y para pasar el rato, se entretuvo escribiendo sobre una hoja de papel cuadriculado la secuencia de los números enteros en forma de espiral, la sorpresa no tardó en aparecer, sus trazos mostraban una especie de patrón evidente en relación a los números primos, pues estos parecían alinearse en diagonales como distinguimos en la figura I.

Espiral de Ulam - Wikiwand

FIGURA I. Espiral de Ulam

Pero, ¿Qué hubiera pasado si a Ulam se le hubiera ocurrido realizar estos trazos sobre un tablero de 64 casillas?, es decir, en un tablero de ajedrez convencional, de esos que están distribuidos en una matriz que consta de 8 filas por 8 columnas. A continuación plantearemos dos escenarios  sobre ésta idea:

ESCENARIO UNO

Marcar en un tablero de ajedrez la posición que corresponda a un número primo, comenzando de abajo hacia arriba y siguiendo la distribución de los números naturales de la figura II.

FIGURA II. Distribución del escenario número uno.

En la figura II observamos, que existe una una tendencia marcada respecto a los Números primos, pues estos tienden a concentrarse en diagonales, tal como lo evidenciamos en la figura III.

FIGURA III. Concentración de Números Primos en Diagonales del escenario uno

ESCENARIO DOS

Marcar en un tablero de ajedrez la posición que corresponda a un número primo, comenzando de abajo hacia arriba y siguiendo la distribución de los números naturales de la figura IV.

FIGURA IV. Distribución del escenario número dos

En la figura IV , observamos la existencia de una una tendencia marcada respecto a los Números primos, pues estos tienden a concentrarse en columnas, tal como lo evidenciamos en la figura V. 

FIGURA V. Concentración de Números Primos en columnas del escenario dos.

Después de evaluar éstos dos escenarios principales, surge una pregunta fundamental:

¿Se conservará el patrón marcado en ambos escenarios si trabajamos con tableros de diferente orden, es decir, para cuadrículas de 2 filas por 2 columnas, de 3 filas por 3 columnas, etc.?

Para intentar responder este planteamiento, construiremos los escenarios uno y dos en tableros de diferente orden o medida, como se aprecia en la figura VI Y VII.

FIGURA VI. Concentración de Números Primos en escenario uno para diferentes tableros.

FIGURA VII. Concentración de Números Primos en escenario dos para diferentes tableros.

Podemos concluir que ambos escenarios varían en su comportamiento según el tamaño del tablero, sin embargo, siempre prevalece un patrón marcado de números primos en forma de diagonal o columna.

USOS O APLICACIONES DE LOS PATRONES ENCONTRADOS EN LOS ESCENARIOS UNO Y DOS.

Una de los usos que le podemos dar a los patrones marcados en los escenarios uno y dos, es exactamente la misma aplicación que se le da a de la espiral de Ulam: Encontrar polinomios generadores de números primos.Se sabe que que no existe una función polinómica capaz de generar todos los números primos, por lo que hallar alguna fórmula que produzca  algunos de ellos, es una tarea nada despreciable por parte de los matemáticos, tal es el caso del polinomio de Euler: P(n) = n² +n +41, con el cual se puede encontrar números primos para los cuarenta primeros valores de n.

Si nos basamos en el escenario uno, para un tablero de 8 filas por 8 columnas, y distinguimos una de las diagonales donde aparecen números primos, tal  como se muestra en la figura VIII, podemos hallar una función generadora de primos,para este caso en particular, tenemos a la fórmula polinómica: f(x) = -x² + 13n + 7   que para los primeros cuatro valores de x se obtiene 19, 29, 37 y 43.

FIGURA VIII. Concentración de números primos en diagonal para el escenario uno

Si nos basamos en el escenario dos, para un tablero de 7 filas por 7 columnas, y distinguimos una de las diagonales donde aparecen números primos, tal  como se muestra en la figura IX, podemos hallar una función generadora de primos,para este caso en particular, tenemos a la fórmula polinómica: f(x) = 6x – 1   para los primeros cinco valores de x se obtiene 5, 11, 17, 23, 29.

FIGURA IX. Concentración de Números Primos en diagonal para el escenario dos

EL CAMINO O RECORRIDO DE ALFIL

Surge como propuesta el siguiente reto relacionado con el ajedrez: se trata de un acertijo que consiste en hacer pasar un alfil (respetando su movimiento en diagonal), en cada número primo del patrón dibujado de cualquiera de los dos escenarios, y para cualquier tamaño de tablero. Se deben contar los números primos tocados,sin pasar dos veces por el mismo lugar y además la casilla de inicio  debe  ser  un  número  primo (el cual también debe contabilizarse).

Por ejemplo, en un primer intento para un tablero de 8 filas y 8 columnas,y  trabajando en el escenario uno, se logra tocar 15 números primos de los 18 posibles del patrón dibujado como se visualiza en la figura X:

FIGURA X. Primer intento en el recorrido del alfil para el escenario uno

En un segundo intento para el tablero del caso anterior, se logra tocar 16 números primos de los 18 posibles del patrón dibujado como se visualiza en la figura XI:

FIGURA XI. Segundo intento en el recorrido del alfil para el escenario uno

CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

  • El presente artículo justifica un posible nexo entre el ajedrez y los números primos.
  • Se recomienda realizar un programa computacional para evaluar los patrones marcados para tableros de orden mayor tanto del escenario uno como del escenario dos, y a partir de esta tarea, posibilitar el hallazgo de polinomios generadores de números primos.
  • Es fundamental enriquecer el quehacer pedagógico mediante estrategias didácticas significativas para el logro de los objetivos propuestos, es por ello que el presente artículo pone al alcance un ejemplo donde se puede relacionar sin ningún problema el conocimiento de los números primos con el ajedrez, integrando la lúdica y la lógica en el proceso de aprendizaje.

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

[1] García, F. (2005). Secreto de los Números Primos. Descargado de: https://www.acta.es/medios/articulos/matematicas/037085.pdf

[2] Citas.in (2022). Frases de Mijaíl Botvínnik. Descargado de: https://citas.in/frases/99229-mijail-botvinnik-el-ajedrez-es-el-arte-que-ilustra-la-belleza-de-la/

[3]  Google Imágenes (2021).Recuperado de: https://www.google.com.mx/imghp?hl=es

AUTOR DEL ARTÍCULO


José de Jesús Camacho Medina se graduó de Ingeniero y tiene estudios en Matemáticas. Es Profesor de Matemáticas a nivel medio superior y superior. Escribe artículos académicos y de divulgación científica, también  realiza  investigación en Matemática Educativa y Matemática Aplicada.


[email protected]

Febrero de 2022

Fresnillo, Zacatecas, México


PARA CITAR ESTE ARTÍCULO


José de Jesús Camacho Medina (2022). Ajedrez y Números Primos [En línea]. Disponible en MasScience. Recuperado de: https://www.masscience.com/2022/02/25/ajedrez-y-numeros-primos/

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