RESUMEN

En el artículo que se presenta mostramos una aplicación que tienen los números felices (los cuales se perciben a veces como una simple curiosidad que hay en las matemáticas),   mostramos un nuevo tipo de números, (Los números de Rivera), los cuales se forman a partir del conjunto finito F= {13, 19, 23, 31, 49, 79, 91, 97}, el cual está formado por los números felices impares comprendidos entre 11 y 99 (es decir, números felices impares de dos cifras), con la ayuda de los números de Rivera, que también son números felices, se demostrará que el conjunto de números primos es infinito.

Observemos las siguientes sucesiones:

49, 409, 4009, 40009, 400009, 4000009, 40000009, 400000009,…

97, 907, 9007, 90007, 900007, 9000007, 90000007, 900000007,…

13, 103, 1003, 10003, 100003, 1000003, 10000003, 100000003,…

31, 301, 3001, 30001, 300001, 3000001, 30000001, 300000001,…

Las cuales dan origen a las series:

49 + 409 + 4009 + 40009 + 400009 + 4000009 + 40000009 + 400000009+…

97+ 907+ 9007+ 90007+ 900007+ 9000007+ 90000007+ 900000007+…

13 + 103 + 1003 + 10003 + 100003 + 1000003 + 10000003 + 100000003+…

31 + 301 + 3001 + 30001 + 300001 + 3000001 + 30000001 + 300000001+…

Las series anteriores no son series geométricas, pero las definiremos aquí como series cuasi-geométricas, ya que a medida que se obtienen más términos de cada serie, la razón entre los términos n y n-1, tiende a 10 cuando  el número de términos tiende a infinito.

La sucesión que genera los términos de cada serie es:  

             A los números que se generan con esta sucesión les llamaremos números de Rivera

es el primer número de dos cifras del conjunto F que se elige para generar los términos subsecuentes de la sucesión.

es el  número que se obtiene al insertar un cero entre las cifras de a0. 

La sucesión es divergente, y la serie generada por la sucesión también, lo cual podemos probar con el criterio del cociente

La expresión , está produciendo números felices (debido a que el elegido es un número feliz), pero en ocasiones también produce números primos felices, (un número primo  es un número entero distinto de 1 y -1 que solamente es divisible por él mismo y por la unidad), y puede ser evaluada para cualquier n є N, por lo que con ella siempre podremos seguir encontrando números felices una vez elegido un número feliz de dos cifras  . 

Recordemos cuando un número es feliz:

Un número es feliz si al elevar al cuadrado cada una de las cifras que lo integran y sumarlas y aplicar secuencialmente el proceso antes descrito al número obtenido, se llega en una serie finita de pasos al número 1.

Ejemplo el número 23 es feliz, ya que:

2²+3²= 4+9= 13

1²+3²= 1+9=10

1²+0²= 1

Hablando sobre la infinitud de los números felices, es muy fácil verificar esta, ya que como vimos 23 es un número feliz, pero entonces también lo sería el 230, el 2300, el 23000,.., etc., o bien el 32, el 320, el 3200,…, etc.

El número 415  

No es un número feliz, ya que  hemos entrado a un ciclo de repetición (nunca se llegará al 1 siguiendo este procedimiento),  y por lo tanto no lo será tampoco el 145, ni el 541, ni el 451, ni el 514, ni el 154.

Por citar otro ejemplo de número feliz, el año pasado fue el año 2019 de la era cristiana, bueno pues el 2019 es un número feliz, ya que:

Ejemplos de números felices y de números primos felices que se generan con una serie cuasi-geométrica :

Tomamos al número feliz = 49, por lo que 409, aplicando la formula an

Esta función nos indica que el n-ésimo número feliz  tendrá como extremos los números que formen al número feliz elegido de dos cifras a0, y n ceros entre las dos cifras distintas de cero.

Por ejemplo el a₁₂₃ (123 avo. número feliz), dado que fue elegido el = 49, sería el: 

4000…………………….0009

                123 ceros

Estamos hablando de un conjunto infinito, ya que puede establecerse una biyección entre los números naturales y  cada elemento del conjunto que contiene números de Rivera: {409, 4009, 40009, 400009,…}.

Otro ejemplo con a₀= 31, por lo que a₁=301, aplicando la formula a_n

Por las mismas razones ya mencionadas, este conjunto de números de Rivera {301, 3001, 30001, 300001,…} también es un conjunto infinito.

En la sucesión: 409, 4009, 40009, 400009, 4000009,… hay tanto números primos como números compuestos (no primos), cada número a_n no tiene como divisor a otro término de la sucesión a_i  con i < n (por construcción), por lo que cada número de Rivera al ser un entero mayor que el anterior número de Rivera en la sucesión, tiene una descomposición única como un producto de números primos,  además cada número de Rivera en realidad está formado por la suma de dos números enteros, uno de ellos siempre será par y el otro número siempre será impar , por otra parte cada número de Rivera por ser entero tiene una descomposición en factores primos, diferentes o repetidos.   (Teorema fundamental de la aritmética).

Observando la serie que se genera con la sucesión  409, 4009, 40009,400009,…:

 409 + 4009 + 40009 + 400009 +…

En cada número de Rivera se cumple

Pero para que esto sea posible, es decir para que en cada término de la serie se cumpla esto, y  dado que el denominador del cociente se construye como un producto de números primos diferentes o repetidos, mientras que el numerador es la suma de y cuya razón va siendo de 10-є  (є > 0, є tan pequeño como se quiera a medida que el número de términos de la sucesión con la que se genera la serie tienden a infinito), con respecto al número de Rivera anterior, el incremento en los productos de números primos del denominador deberá tener el mismo incremento en cada termino subsecuente a razón de 10-є (є > 0, є tan pequeño como se quiera a medida que el número de términos de la sucesión con la que se genera la serie tienden a infinito), para que el cociente mencionado:

Siga cumpliéndose.

Si la cantidad de números primos que se usan para construir mediante producto de ellos  a todo número de Rivera fuera finita, por decir algo fueran los contenidos en el  conjunto formado por ,las combinaciones posibles con factores distintos serían finitas, por lo que para seguir generando números de Rivera (ya que estos son infinitos), se tendría que recurrir a potencias de los factores ya existentes (lo que es lo mismo repetir factores) pero esto haría que estos nuevos números enteros generados fueran divisibles entre los anteriores que fueron generados por factores primos diferentes, entonces la razones 10-є  (є > 0, є tan pequeño como se quiera a medida que el número de términos de la sucesión que generan la serie tienden a infinito) entre un número de Rivera y otro no podrían darse, ya que quedarían razones enteras a partir de estos nuevos números y los generados sin repetición de factores primos, por lo que estos nuevos números construidos con potencias de números del conjunto P no podrían ser números de Rivera (ya que como dijimos por construcción los números de Rivera no son divisibles entre ellos),  no podrían construirse las razones 10-є (є > 0, є tan pequeño como se quiera a medida que el número de términos de la sucesión con la que se genera la serie tiende a infinito), que se requieren en el denominador para emparejar al numerador y que el cociente diera 1, por lo que deben seguir apareciendo siempre números primos nuevos que puedan construir nuevos números de Rivera, dado que el conjunto de números de Rivera es infinito, se concluye que los números primos son infinitos.  

CONCLUSIÓN: Los números felices no son solamente una curiosidad que tienen las matemáticas, son útiles, al menos en este artículo hemos mostrado que con ellos es posible demostrar que el conjunto de números primos es infinito.

RECOMENDACIÓN: Recomendamos seguir investigando que otra utilidad pueden tener los números felices en la actividad científica.

Referencias bibliográficas.

[1] Campbell, S. R. (2011). Understanding Elementary Number Theory in Relation to Arithmetic and Algebra. En Zazkis, R., Campbell, S. R. (eds.). Number Theory in Matematics Education. New York: Routledge.

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[3] Gúzman, J., Hitt, F., Santos, M. (2002). El currículo de Matemáticas en México en la escuela media. En Maz, A., Torraldo, M., Abraira, C. (eds.). Currículo y matemáticas en la enseñanza en Secundaria en Iberoamérica. Córdoba: Servicio de Publicaciones de la Universidad de Córdoba.

[4] Pickover, C. A., El prodigio de los números, Barcelona, Ma non troppo, 2002.

[5] Sautoy, M. du, La música de los números primos, Barcelona, Acantilado, 2007.