Con esta postal topológica no sólo os deseo unas felices Pascuas Matemáticas, sino que además vamos a jugar con descubrir un teorema y algunos objetos matemáticos y otros conceptos o definiciones, siempre con el sentido del humor matemático que desea celebrar esta festividad.
Esta imagen es un fotocollague realizado con la ayuda del Photoshop, y está algo codificado, así que la explicaré paso a paso.
Partimos de una imagen unidad, que es un fractal 3D tipo Mandelbulb. ¿Pero que es un fractal?, ¿y qué es un fractal 3D?. Un fractal es un objecto matemático que se encuentra entre dos dimensiones, veamos, una línia pertenece a la primera dimensión, y un plano a la segunda dimensión, mientras que un cubo se encuentra en la tercera dimensión, pero un fractal no se encuentra en ninguna dimensión entera, ya que su dimensión es fraccionaria. Además es un fractal de semejanza, es decir, que se repite infinitamente pero siempre ocupando el mismo espacio, ¿y cómo es posible?, veamos el ejemplo más sencillo, el llamado conjunto de Cantor.
Conjunto de Cantor (Wikipedia)
Aquí partimos de un segmento, donde n=1 es la iteración número 0. Una línia, un segmento, que en la iteración número 1 (n=2) dividimos la línea en 3 partes y eliminamos 1/3, el segmento central, y así sucesivamente, pero vemos que todas las iteraciones están contenidas en el espacio que ocupa el segmento inicial, y todas se parecen entre si, son autosemejantes. Y retomando su dimensión es 0.6309, ya que ln(2)/ln(3)=0.6309, donde la dimensión de semenjanza corresponde a esta relación matemática: Ds=ln (n)/ln(1/r), y n es el número de copias del fractal de semejanza, (tenemos dos copias, dos segmentos), siendo r la escala de contracción, que en este caso es 1/3.
Mandelbold 3D
El fractal elegido es un detalle del fractal Mandelbold 3D, en el plano YZ, y que me ha inspirado por parecer un bosque mágico, la mágia no está reñida con las matemáticas, como tampoco lo están las emociones, porqué no sólo te puedes emocionar por un poema, también te puede emocionar un teorema.
En segundo lugar tenemos los movimientos elementales del plano euclídeo, que son:translacción, rotación, simetría y homotecía. Con esta definición del movimiento en la tercera dimensión he creado una imagen que utiliza 3/4 movimientos elementales (la excepción es la homotecia). Con estos movimientos he creado una imagen calidoscopica
3/4 Movimientos Elementales del Plano Euclídeo
Veamos, tenemos la imagen origen, 1, y los ejes x (línea horizontal que va desde la -x a la x) e y (línea vertical, que va desde la y a la -y). Así que el punto de origen, la imagen 1 (-x,y), para crear la imagen 2, el movimiento es de simetría vertical de espejo y de traslación (x,y), la imagen 3 es un giro de 180º respecto a la imagen 1 y una traslación (x,-y), la imagen 4 es una simetría de espejo horizontal y una translación (-x,-y).
¡Bien!, ya tenemos un segundo enigma resuelto. Ahora la imagen del conejo es más sencilla de resolver, simplemente es una simetría vertical y una translación horizontal, de -x a x.
Veamos entonces la cesta de Pascua.
cesta nudo de trébol y el teorema de los 4-colores
La cesta ha sido creada a partir de una banda de Möbius de tipo nudo de trébol, pero en la primera iteración, en el primer cambio se ha cortado, y por ello ha dejado de ser una banda de Möbius (pueden ver como se va cortando en la animación). Veamos cada concepto.
La teoría de nudos es una teoría matemática perteneciente a la rama llamada topología algebráica. Los dos nudos de trébol no son equivalentes, porqué ninguno de ellos se puede deformar en la imagen especular del otro, son únicos en sí. Y aquí tenemos un caso de un nudo de trébol muy peculiar, porqué esta forma tiene una simetría rotacional en una dirección, y un corte o varios hace que sigan formando una unidad, aunque la iteración 0 era un nudo y una banda de Möbius, al seguir las iteraciones la superfície cambia, y deja de ser una superfície con una sola cara y con un solo borde.
Möbius en forma de nudo de trébol
Y pasamos a los huevos de Pascua, que son de colores, sólo cuatro, y están ordenados de una pauta, esta corresponde al teorema de los 4-colores, este teorema responde a la pregunta: ¿cuántos colores mínimos necesitamos para colorear un mapa?, hay una condicción, cada color corresponde a un país y no se pueden tocar los colores iguales. Y mis colores elegidos han sido los colores RGB, rojo-verde-azul, y he añadido el violeta.
Y queda por explicar los adornos que hay en el fondo que son anillos de borromeo, anillos que la forma de separarlos es liberando uno de ellos, entonces se liberan los otros dos y que si se sumergen en una solución jabonosa dan el aspecto de la imagen que hace que envuelva los anillos una superfície. Esta imagen ha sido realizada con el programa Evolver y sigue las leyes de Plateau, de como se comporta una mínima superfície, que en este caso es el jabón sobre los tres anillos de Borromeo.
Superfície jabonosa sobre los anillos de Borromeo
Así que ya ven, que dándole la vuelta al dicho “una imagen vale más que mil palabras”, con una imagen se pueden explicar mil palabras, y como decía G.H. Hardy: Un matemático, como un pintor o un poeta, es un fabricante de modelos. Si sus modelos son más duraderos que los de estos últimos, es debido a que están hechos de ideas. Los modelos del matemático, como los del pintor o los del poeta deben ser hermosos. La belleza es la primera prueba; no hay lugar permanente en el mundo para unas matemáticas feas.
Referencias
Adams, Colin C. The Knot Book. An Elementary Introduction to the Mathematical Theory of Knots. American Mathematical Society. 2004.
Hardy. G.H. Apología de un matemático. Editorial Nivola. Madrid, 1999.
Mascaró, Francisca. Teoría de la dimensión. Capítulo 1.y Teoría de Nudos. Capítulo 3. “Geometría y Topología de Dimensiones Bajas”. Optativa de 3º de la licenciatura de Ciencias Matemáticas.Universitat de València, 2007.
http://topologia.wordpress.com/2008/03/25/3-nudos-y-enlaces/
http://topologia.files.wordpress.com/2011/01/i-jornada-profesores-matematicas-almeria.pdf
http://www.skytopia.com/project/fractal/mandelbulb.html
http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_fractals_by_Hausdorff_dimension
http://www.uhu.es/ceferino.parra/Artemate/Fractales.htm
http://lcni.uoregon.edu/~dow/Geek_art/Mobius_bands_and_tilings.html
http://www.susqu.edu/brakke/aux/borromean/borromean.html
