Hay un símbolo en matemáticas que encierra un concepto que puede resultarnos extraño, el infinito. Actualmente estamos acostumbrados a ver su símbolo incluso tatuado en los jóvenes pero ¿Qué significa este símbolo?

Lemniscata: Símbolo del infinito

El símbolo del infinito se denomina lemniscata y fue descrito por primera vez por Jakob Bernoulli en 1634, como el lugar geométrico de los puntos del plano tales que el producto de las distancias desde dos puntos fijos (denominados focos) es constante. Esta curva surge como modificación de una elipse, ya que una elipse se define como el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma de las distancias desde dos puntos fijos es constante.

En coordenadas cartesianas su ecuación tiene la siguiente expresión:

Ecuación de la curva que representa al infinito.

El nombre “Lemniscata” viene del latín y significa “cinta colgante”

Una vez conocido como surge el símbolo del infinito, cabe preguntarnos, por el concepto en sí, es decir ¿Qué es el infinito?

Esta no es una pregunta fácil de responder, de hecho es una cuestión que ha estado latente en no sólo en las matemáticas, sino en la humanidad desde tiempos inmemoriales, y prueba de ellos es que desde distintas áreas como la filosofía con Demócrito, Zenón, Anaximandro y Platón entre otros, desde la Teología con San Agustín de Hipona o Santo Tomás de Aquino y como no desde las matemáticas con Ferdinand, Cantor, Weierstrass, Dedekind o Hilbert entre otros han tratado de aclarar y definir este concepto.

Parece lógico pensar que podemos tratar al infinito como una unidad, es decir considerarlo como una cantidad inmensamente grande y tratarlo como si fuese un elemento que surge al superar el paso al límite.

Sin embargo esta precaria definición presenta muchos inconvenientes. Si consideramos por ejemplo el conjunto de los números naturales, y el conjunto de los números pares P, ambos tienen infinitos elementos, pero con esta definición parece que el segundo conjunto, el de los números pares tiene menos elementos que el de los números naturales, por lo que llegamos a infinitos distintos. Pero, si definimos la aplicación:

Infinito: Aplicación biyectiva de los números naturales en los números pares

Esta aplicación nos da una correspondencia uno a uno entre los elementos de ambos conjuntos, es decir se trata de una  biyección entre ambos conjuntos, por lo que ambos conjuntos deben tener el mismo número de elementos, y por lo tanto ambos infinitos son iguales.

Esta definición de infinito fue rechazada por matemáticos reconocidos como Gauss, quienes daban al infinito una definición más teológica, una definición que actualmente conocemos como definición de infinito potencial y está vinculada a un proceso reiterado que nunca finaliza.

Sin embargo esta definición de infinito potencial también presenta muchos inconvenientes ya que da lugar a muchas paradojas, entre ellas la paradoja de Zenón de Elea o la paradoja de Aquiles y la tortuga.

Cantor fue el primero en dar rigor al concepto de infinito observando que se podía establecer una correspondencia biyectiva entre los puntos de un segmento y los de un rectángulo. Este hecho fue comunicado por Cantor a su maestro Kronecker, quien defendía la idea de que “Dios creó los números naturales y el resto es obra de los hombres”, por lo que maestro y discípulo llegaron a un duro enfrentamiento por este hecho.

Este altercado con su maestro no disipó las ideas del joven Cantor quien llamó  “Aleph-0” al cardinal del conjunto de los números naturales N.

Aleph-0: Cardinal de los números naturales

Dos conjuntos tendrán el mismo cardinal, si existe una biyección, es decir una correspondencia uno a uno entre los elementos de ambos conjuntos.

Cantor demostró que el conjunto de los números racionales tiene el mismo cardinal que el de los números naturales, es decir, demostró que los números racionales son numerables.

Hasta ahora Cantor había probado que el conjunto de los números racionales, y los enteros tiene el mismo cardinal, el conocido como Aleph-0, y por lo tanto los números enteros también deben tener este mismo cardinal. Si continuamos con los conjuntos de números conocidos, y pasamos a los números reales ¿qué cardinal tienen los números reales?

Este fue uno de los descubrimientos más importantes de Cantor, ya que mediante su diagonalización demostró que los números reales no podían contarse, es decir, que el conjunto de los números reales no tiene el mismo número de elementos que N, por lo que Cantor demostró que el infinito de los números reales es mayor que el de los números naturales, y por lo tanto estamos ante dos infinitos distintos.

Para demostrar este hecho, Cantor se centró en el intervalo [0,1] el cual tiene el mismo cardinal que el conjunto de los números reales, y demostró que éste no tenía el mismo cardinal que los números naturales, por lo que su infinito es distinto, es decir el conjunto de los números reales no es numerable.

Haciendo un inciso para recordar un concepto de teoría de conjuntos necesario para continuar el argumento diremos que dado un conjunto A, se define el conjunto Partes de A como el conjunto formado por todos los subconjuntos de A. Es fácil probar que si el cardinal de A es n, entonces Partes de A tiene cardinal 2 elevado a n.

Cantor denotó al nuevo infinito encontrado Aleph-1 también llamado “continuo”, y conjeturó que:

Aleph-1: Cardinal infinito de los números reales

De hecho Cantor definió Aleph-0, Aleph-1, Aleph-2, Aleph-3,…  con mucho rigor matemático.

Pero el propio Cantor lanzó un desafío a la comunidad matemática. ¿Existe algún número trasfinito entre Aleph-0 y Aleph-1? Esta cuestión se conoce como la hipótesis del continuo.

Cantor no logró dar respuesta a esta cuestión, y hoy día sabemos que es una cuestión indecidible, es decir que no se puede comprobar su afirmación ni refutar su falsedad.

Autor: Francisco Morante Quirantes. @fdetsocial

Co-fundador del blog divulgativo de FdeT