“Mejor que de nuestro juicio, debemos fiarnos del cálculo algebraico”
[Leonhard Euler (1707-1783)]
Según Galdos (1995), una ecuación es toda igualdad que contiene una o más cantidades desconocidas, que reciben el nombre de incógnitas, y que solo se verifica, generalmente, para determinados valores de las incógnitas.
Se dice que varias ecuaciones forman un sistema y el objetivo es encontrar la solución o las soluciones comunes a todas ellas.
SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS
Es un sistema donde figuran ecuaciones lineales, y el objetivo es encontrar el valor de las dos incógnitas, como se muestra en el siguiente ejemplo:
5x – 2y = 4
3x + y = 9
x = ? y = ?
Existen varios métodos para solucionar sistemas de este tipo, de los cuales podemos mencionar:
- Igualación
- Sustitución
- Reducción
- Gráfico
Dichas metodologías son inculcadas a nivel de Secundaria y Preparatoria en el tema que se centra en la resolución de ecuaciones, a menudo, los alumnos presentan dificultades para llevar a cabo los pasos que los métodos conllevan , pues los procedimientos implican artificios algebraicos y despejes que suelen ocasionar confusión entre los estudiantes en su proceso de aprendizaje del álgebra.
MÉTODO SIMPLIFICADO
El presente método, es eficiente y se orienta para sistemas de ecuaciones lineales con solución única, para sistemas incompatibles (sin solución) o indeterminados (infinitas soluciones) se recomienda usar algún otro procedimiento matemático.
Sean a, b, c, d, e, f : Números Reales diferentes de cero.
Tenemos el sistema de dos ecuaciones lineales:
ax + by = c
dx + ey = f
Nos centramos en los coeficientes reales.
a b c
d e f
Para calcular el valor de la incógnita “x” y “y” usamos las fórmulas:
Para toda b diferente de cero.
Ejemplo I:
Sea el Sistema:
2x – 3y = 4
x + 4y = 13
Nos centramos en los coeficientes reales.
2 -3 4
1 4 13
a = 2, b = -3, c = 4, d = 1, e = 4, f = 13.
x = [(-3)(13) – (4)(4)] / [(-3)(1) – (2)(4)] = (-39-16) / (-3-8) = -55 / -11 = 5.
y = [4 – (2)(5)] / -3 = (4-10) / -3 = -6 / -3 = 2.
La solución del sistemas es (5,2).
Ejemplo II:
Sea el Sistema:
x + y = 3
x + 3y = 7
Nos centramos en los coeficientes reales.
1 1 3
1 3 7
a = 1, b = 1, c = 3, d = 1, e = 3, f = 7.
x = [(1)(7)-(3)(3)] / [(1)(1)-(1)(3)] = (7-9) / (1-3) = -2 / -2 = 1.
y = [3-(1)(1)] / 1 = (3-1) / 1 = 2 / 1 = 2.
La solución del sistemas es (1,2).
¿COMO AHORRARNOS LA MEMORIZACIÓN DE LAS ANTERIORES FÓRMULAS?
A continuación mostramos un ejemplo de como desarrollar un sistema de dos ecuaciones lineales basado en el método expuesto pero de manera más sencilla y haciendo uso de una ilustración gráfica:
Nos centramos en los coeficientes reales y resolvemos de forma matricial, en base a dos bloques: el [1] y [2].
Imagen I: Como resolver un sistema de ecuaciones lineales de dos incógnitas
Recordar que para trabajar la forma matricial se trabaja en base a multiplicaciones, iniciando primeramente con la flecha que apunta al lado derecho, así por ejemplo, el bloque [1] queda: b*f – c*e y el bloque [2] b*d – a*e.
En el caso de “y”, esta se calcula teniendo primeramente el valor de “x” y haciendo uso de la fórmula: y = (c – ax) / b
DEMOSTRACIÓN
¿Por qué funcionan las fórmulas?
Sean a, b, c, d, e, f : Números Reales diferentes de cero.
ax + by = c —–(1)
dx + ey = f —– (2)
De (1) despejamos (y)
y = (c – ax) / b —– (1a)
Sustituimos en (2) la ecuación (1a)
dx + e [(c – ax) / b] = f
bdx + ec – aex = bf
bdx – aex = bf – ec
x (bd – ae) = bf – ec
x = (bf – ec) / (bd – ae)
Lo cual implica al ordenar alfabeticamente las variables:
x = (bf – ce) / (bd – ae) para toda (bd – ae) diferente de cero.
y para la incógnita “y” usamos (1a)
y = (c – ax) / b
para toda b diferente de cero.
CONCLUSIONES
- El método expuesto en este artículo fue ideado por el autor.
- Se propone como alternativa de los procedimientos clásicos, este método simple y comprensible con el firme objetivo de que el alumno de secundaria y bachillerato encuentre más herramientas en el estudio del álgebra.
- El presente método facilita la tarea de encontrar la solución de sistemas lineales con dos incógnitas, reduciendo los tiempos de cálculo y ahorrando proceso algebraico.
- La presente metodología es eficiente y se orienta para sistemas de ecuaciones lineales con solución única, para sistemas incompatibles (sin solución) o indeterminados (infinitas soluciones) se recomienda usar algún otro procedimiento matemático.
- El método presentado en este artículo es un camino para demostrar la Regla de Cramer.
DATOS PARA CITAR ESTE ARTÍCULO:
José de Jesús Camacho Medina (2019). Casi Cramer: Como Resolver Un Sistema De Ecuaciones Lineales Con Dos Incógnitas [en línea]. Disponible en Revista MasScience: https://www.masscience.com/casi-cramer-como-resolver-un-sistema-de-ecuaciones-lineales-con-dos-incognitas/
AUTOR DEL ARTÍCULO:
Profesor e Ingeniero José de Jesús Camacho Medina Miembro de La Sociedad Científica Fresnillense A.C.
BIBLIOGRAFÍA
- Consultor Matemático: “Álgebra” (1995). L. Galdós, 1995, Ed. Cultural, España.
