“Las matemáticas tienen belleza y romance. El mundo de las matemáticas no es un lugar aburrido en el que estar. Es un lugar extraordinario; merece la pena pasar el tiempo allí”.
[Marcus du Sautoy]
INTRODUCCIÓN
La media aritmética en Matemáticas, particularmente en estadística es también conocida como promedio o sencillamente media, y se aplica a un conjunto finito de valores o números, su cálculo consiste en sumar al conjunto de datos y al resultado obtenido dividirlo por el total de sumandos o datos, como se puede apreciar en la siguiente fórmula.
Figura I “Fórmula para calcular la Media de un conjunto finito de valores”
En el siguiente ejemplo mostramos como calcular la media de los datos : 1, 2, 15
MEDIA= (1 + 2 + 15) / 3 = 18 / 3 = 6.
La media o promedio se considera una medida representativa de un conjunto de datos, posee muchas ventajas de entre las cuales podemos mencionar:
- Es la medida de tendencia central más usada a la hora de realizar inferencias sobre poblaciones.
- Su cálculo es muy simple.
Como posible desventaja podemos decir que:
- Se ve afectada por valores extremos muy grandes o muy pequeños.
CALCULANDO EL DATO O LOS DATOS DESCONOCIDOS DADA LA MEDIA U OTRAS MEDIDAS
CASO I. VALOR DESCONOCIDO DADA LA MEDIA
Supongamos que se nos presenta un problema en donde nos dicen que la media es 2 y que los datos de estudio son 1, 2, 2, x, por lo tanto se nos pide hallar el valor desconocido “x”, hacemos lo siguiente:
DATOS CONOCIDOS:
MEDIA = 2
TOTAL DE DATOS n = 4
VALORES CONOCIDOS 1, 2, 2
Partimos de la fórmula de la media:
(X1 + X2 + X3 + … + Xn) / n = MEDIA
Sustituimos Valores
(1 + 2 + 2 + x) / 4 = 2
Despejamos “x”
x = (2 * 4) – (1 + 2 + 2 ) = 8 – 5 = 3
Por lo tanto se concluye que el dato desconocido sería 3 y así comprobamos que:
(1 + 2 + 2 + 3) / 4 = 2
De esta manera podemos encontrar una fórmula(a través del álgebra, planteando una ecuación y despejando la variable “x”) que nos permita conocer el dato o valor desconocido dada la media como se puede apreciar en la figura II:
Figura II : “Fórmula general para calcular dato desconocido dada la media”
CASO II. VALORES DESCONOCIDOS DADA LA MEDIA
En los casos en donde se proporcione la media y se deseé calcular todos los datos será necesario contar con más información o incluso tener calculada alguna otra medida estadística, veamos a continuación diversas opciones:
2.A
Cuando se proporcione como información:
- La Media de los Datos
- Los datos son iguales
- La cantidad de datos es “n”
Podemos hacer uso de la siguiente fórmula :
Por ejemplo, queremos conocer los datos de un conjunto de cinco valores que presenta una media igual 8,mediante la fórmula se concluye que:
X1 = 8, X2 = 8, X3 = 8, X4 = 8, X5 = 8 Por el hecho de que la media = 8.
Aquí la comprobación:
(8 + 8 + 8 + 8 + 8) / 5 = 40 / 5 = 8.
2.B
Cuando se proporcione como información:
- La Media de los datos
- Hay una Moda y es un dato que aparece dos veces
- La cantidad de datos es “n”
- El dato mayor o el Menor
Procederemos con un ejemplo para hacerlo más simple:
La media de un conjunto de datos es 3, la moda es igual a 3 y aparece dos veces, el total de datos es 6, además se nos dicen que el dato menor es 1.
Entonces tenemos que (X1 + X2 + X3 + X4 + 3 + 3) / 6 = 3.
Despejamos X1 + X2 + X3 + X4 , nos queda:
(X1 + X2 + X3 + X4 + 3 + 3) / 6 = 6*3 – ( 3 + 3), X1 + X2 + X3 + X4 = 18 – 6= 12
Entonces tenemos la ecuación X1 + X2 + X3 + X4 =12, la descomponemos de la siguiente manera: (X1 + X2) + (X3 + X4) = 6 +6 , nos queda:
(X1 + X2) = 6
(X3 + X4) = 6
Como ambas ecuaciones se igualan a seis generamos las diferentes parejas cuya suma nos arroja dicho número sin importar el orden de sus elementos: (0, 6), (1, 5), (2, 4), (3, 3), de estas cuatro opciones descartamos a (3, 3) por que dichos valores pertenecen a la moda, por lo cual nos queda como candidatos a estas parejas para escoger cuatro valores (0, 6), (1, 5), (2, 4), de aquí descartamos a (0, 6) por que el dato menor es 1, entonces (1, 5), (2, 4) figuran como los otros datos del conjunto, por lo tanto tenemos que:
(1 + 2 + 3 + 3 + 4 + 5) / 6 = 3.
Otro ejemplo:
La media de un conjunto de datos es 2, la moda es igual a 2 y aparece dos veces, el total de datos es 4, además se nos dicen que el dato menor es 1.
Entonces tenemos que (X1 + X2 + 2 + 2) / 4 = 2.
Despejamos X1 + X2 + X3 + X4 , nos queda:
(X1 + X2 + 4) / 4 = 2, X1 + X2 = 4*2 – 4= 8 – 4 =4.
Entonces tenemos la ecuación X1 + X2 = 4.
Como la ecuación es igual a cuatro generamos las diferentes parejas cuya suma nos arroja dicho número sin importar el orden de sus elementos: (0, 4), (1, 3), (2, 2) de estas tres opciones descartamos a (2, 2) pues dichos valores pertenecen a la moda, por lo cual nos queda como candidatos a estas parejas para escoger cuatro valores (0, 4), (1, 3), de aquí descartamos a (0, 4) por que el dato menor es 1, entonces (1, 3), figuran como los otros datos del conjunto, por lo tanto tenemos que:
(1 + 2 + 2 + 3 ) / 4 = 2.
CONCLUSIONES
- Aplicar el álgebra nos permite encontrar expresiones sencillas y facilitar las diversas tareas matemáticas.
- La estadística es una rama de las matemáticas que tiene la intención de describir a un conjunto de datos en base al cálculo de medidas desde el punto de vista cuantitativo.
- La media es considerada una medida estadística representativa, de gran utilidad a la hora de producir inferencias acerca de poblaciones.
- Es importante encontrar variantes a los problemas relacionados con la media para fortalecer el conocimiento de las matemáticas y profundizar en el estudio de la misma.
DATOS PARA CITAR ESTE ARTÍCULO:
José de Jesús Camacho Medina (2019). Como Encontrar Algún Dato Dada La Media u Otras Medidas [en línea]. Disponible en Revista MasScience: https://www.masscience.com/como-encontrar-algun-dato-dada-la-media-u-otras-medidas/
SOBRE EL AUTOR DEL ARTÍCULO
José de Jesús Camacho Medina : Sociedad Científica Fresnillense A.C.
