¿Cuántas formas hay en nuestro Universo?

¿Cuántas formas hay en el Universo?

Si a alguno de nosotros nos preguntasen, o nos pidiesen hacer una estimación de las formas que pueden haber en el Universo, se nos vendría a la mente un número muy elevado de formas, rozando el límite, casi infinitas formas; pero no es así y lo vamos a demostrar.

Si hablamos con propiedad en nuestro Universo tridimensional todo lo que sea una superficie compacta y conexa, es homeomorfa a tres superficies modelo, eso nos dice el teorema de clasificación de superficies modelo.

Toda superficie compacta y conexa es homeomorfa a la esfera, la suma conexa de toros , o a la suma conexa de Planos Proyectivos .

Ya no estamos hablando de geometría, sino de topología algebraica, la cual nos dice que una superficie se puede deformar y cambiar de forma, pero que mientras no se rompa es ella misma, entonces, para no perdernos lo que hacemos es estudiar los invariantes, lo que no cambia al cambiar la forma.

Veamos primero que es una esfera, un toro y un plano proyectivo.

Fig. 1: 3 superfícies de referencia: toro, plano proyectivo, esfera.

Una esfera es una superficie orientable, entendemos por orientable que tiene un polo norte y un polo sur, dos direcciones, no tiene borde y es compacta y conexa, a diferencia del plano proyectivo que no tiene orientación, sólo presenta una cara, por ejemplo, el ecuador de una esfera es una cinta con dos caras, mientras que el ecuador del plano proyectivo real es una banda de Möbius.

Fig.2: Esfera versus plano proyectivo real

Y un toro es una superfície orientable, sin borde y con un agujero.

Veamos una vez que tenemos claro estas tres superfícies, si existen en la Naturaleza.

¿Y dónde están? Como esfera tenemos las gotas de lluvía; las burbujas de agua; las esferas de nieve que se forman en el mar cuando se derrite la nieve y la erosión de las olas las modela; y algunos animales como las ballenas (megapteras novaengliae), cuando cazan en grupo generan burbujas de aire restándole oxígeno y visibilidad al agua, así que los peces desorientados deben surgir a la superficie, y las ballenas en grupos de cuatro a seis crean un círculo en torno al banco de peces y poco a poco van cerrando el círculo con las bocas bién abiertas para alimentarse; estas burbujas las generan pequeñas las ballenas si es un alimento pequeño como el krill, y su radio aumenta en relación al diámetro a los peces. También los planetas, las estrellas, y cualquier meteoro, todo ello nos parece esferas.

Fig.3: Bolas de nieve en la playa.

Pero para ser estrictos, en matemáticas una esfera no contiene nada, es su superficie exterior, así que una burbuja de aire lo es mientras que una gota de lluvia no lo es.

Fig.4 : Beluga jugando con un anillo toroidal de aire.

Nos pasa lo mismo con las otras superficies; para el toro tenemos los aros de humo que generan los volcanes, y algunos animales como los delfines y las ballenas belugas crean toros de aire y juegan con ellos.

El plano proyectivo real es más difícil encontrarlo, porque en realidad sólo existe en la 4ª dimensión, entendiendo por dimensión el concepto matemático de 4 coordenadas espaciales-temporales, así que debemos encontrar un equivalente en la tercera dimensión, como lo es la banda de Möbius. Asi que reuniendo estas tres superfícies simples tenemos:

Fig.5: Tres superfícies: toro, banda de Möbius, esfera

Que corresponde a su equivalente en la Naturaleza:

Fig.6 : Toro de humo volcánico, Arco Möbius, pompa de jabón.

Pero después de buscar sin éxito esta superficie no orientable en la Naturaleza, con excepción del Arco Möbius en Mount Whitney (Alabama_California), un equipo de científicos ha descubierto la simetría de Möebius en metamateriales; fue Xiang Zhang, científico del Laboratorio Nacional Lawrence Berkeley y profesor de la Universidad de California, dirigió un estudio en el que la simetría de Möbius se introdujo con éxito en los sistemas de metamoleculares compuestos elaborados con metales y dieléctricos.

Otros científicos del Instituto de Biodiseño en la Universidad Estatal de Arizona (Departamento de Química y Bioquímica), dirigido por Hao Yan y Yan Liu, han reproducido la banda de Möbius uniendo segmentos similares al trenzado de ADN de 50 nanómetros de diámetro.

Fig.7: ADN

Para crear estas nanoestructuras utilizaron una versión de la técnica ADN origami, esta versió se llama ADN kirigami, para formar la banda de Möbius, el grupo se basó en las propiedades de autoensamblaje del ADN. Una hebra de ADN está formada por permutaciones de 4 bases de nucleótidos, la adenina (A), timina (T), citosina (C) y guanina (G), que sólo pueden unirse con una regla : A-T, C-G. Una segunda hebra, se une con la primera para formar la doble hélice de ADN.

Fig.8: Banda de Möbius de ADN.

Pero volviendo al teorema de clasificación de las superficies modelo, lo que nos dice es que toda superficie es homeomorfa a una esfera, la suma conexa de toros o la suma conexa de planos proyectivos. ¿Qué entendemos por la suma conexa?. Bien, las superficies se pueden sumar, y para ello hay que triangularlas; es algo parecido al juego de la esfera transformable, se pueden aplanar éstas superficies quedando así los tres modelos:

Toda superficie compacta y conexa podemos triangularla de manera finita, para ello consideramos un poliedro que tiene por elementos los símplices.

Y una vez aplanadas las superficies las dotamos con una palabra, tendremos una letra diferente para cada lado, cada letra aparece dos veces, y le asociamos una notación, x si va en sentido de las agujas del reloj, y si va en sentido contrario, esta notación se puede sustituir por una flecha orientada hacía la izquierda o la derecha. Otro parámetro a considerar es la característica de Euler, que es un invariante topológico, nos dice que los vértices menos las aristas más las caras es igual a la constante 2 (V-A+C=2) para los poliedros, que llevada al caso de los complejos simpliciales, como hemos perdido las caras al aplanar las superficies la considerarempos 1 (C=1), así que tendremos: V-A+1=?, el número que nos dé a de ser 0,1 o 2, y esto nos dirá si la superficie a sumar es homeomorfa a un toro, a un plano proyectivo o a una esfera.

Diferenciaremos entre las superficies sin borde. El término g corresponde al género de la superficie.

Y las superficies con borde, además del término g tenemos r que es el número de componentes del borde. Entre estas superficies se encuentra la banda de Möbius,

Y empezamos a sumar superfícies, comenzando con la suma de dos toros.

Fig.9: Suma conexa de dos toros.

Comparamos la suma anterior con la de sus modelos planos.

¿Tiene referente natural?…Vemos que si, estos dos vórtices anulares de humo reproducidos en un laboratorio. La imagen muestra un corte transversal donde las líneas de corriente en flujo se organizan en capas.

Fig.10 : Suma conexa de dos toros con sus modelos planos.

Fig.12: Vórtice anular de humo reproducido en laboratorio.

Y para el plano proyectivo tendremos como resultado de la suma conexa:

Fig.13: Suma conexa de dos planos proyectivos.

En este caso no se ha encontrado de momento ningún referente natural.

Cómo conclusión tenemos que las ideas de Platón en sí podrían ser conceptos matemáticos y que estos tendrían su máxima expresión en la Naturaleza. Son sólo estas tres superficies las que componen todas las formas tridimensionales que hay en nuestro Universo, ¿sorprendente,no?.

Esta es la esencia de las matemáticas, el poder de las ideas.

Referencias

Dongran Han; Suchetan Pal; Yan Liu; Hao Yan. Folding and cutting DNA into reconfigurable topological nanostructures. Letters (Published online). Nature natotechnology.3-X-2010. (http://www.readcube.com/articles/10.1038/nnano.2010.193)

Mascaró, Francisca. Superficies. Tema 5. Curso Geometría y Topología de Dimensiones Bajas. UV.

Zehao Li1 and L. R. Ram-Mohan.Quantum mechanics on a M¨obius ring: Energy levels, symmetry, optical transitions, and level splitting in a magnetic field. PHYSICAL REVIEW B 85, 195438 (2012).

http://es.wikipedia.org/wiki/Superficie_%28matem%C3%A1tica%29

http://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_compacto

http://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_conexo

http://www.ual.es/~jlrodri/Topgen5/introduccion.html

http://www.taringa.net/posts/humor/10986911/Cosas-Interesantes-Info-Imagenes.html

http://www.mikereyfman.com/photo/photo.php?Gallery=Alabama-Hills-Eastern-Sierra&No=29

http://www.sienteamerica.com/posts/177-los-delfines-juegan-con-anillos-de-aire

http://www.cctv.com/espanol/20091012/103504_4.shtml

http://www.oocities.org/puedefallar/videos3.html

http://serve.me.nus.edu.sg/limtt/

http://io9.com/5654715/chemists-fold-dna-into-mobius-strips

http://www.nature.com/nnano/journal/v5/n10/abs/nnano.2010.193.html