“Hay geometría en el zumbido de las cuerdas, hay música en la separación de las esferas”

[Pitágoras (569 AC –  475 AC) Matemático Griego]

AUTORES

José de Jesús Camacho Medina¹  ,   Leonel Iván Miranda Méndez²

INTRODUCCIÓN

Según Galdós (2001), se llama polígono a la porción de plano limitada por una línea poligonal cerrada que recibe el nombre de contorno, tal como se puede apreciar en la figura I.

Históricamente se sabe que los Egipcios fueron una de las culturas que trabajaron con la geometría, pues la usaban en sus actividades cotidianas como es el caso de la agricultura.

La geometría, es un concepto que significa medida de la tierra, y los egipcios la usaban para delimitar la tierra cultivada cuando el Río Nilo tenia ciertas crecidas (Galdós, 2001).

CLASIFICACIÓN DE LOS POLÍGONOS

Los polígonos se pueden clasificar en base a diversas categorías, como por ejemplo: en Cóncavos (algunos de sus ángulos interiores son mayores de 180º) y Convexos (todos sus ángulos interiores son menores de 180º) como se aprecia en la figura II:

POLÍGONO REGULAR

Un Polígono Regular es aquél cuyos lados tienen la misma longitud y cuyos ángulos son iguales.

 Elementos de un polígono regular

Lado: cada segmento de la línea poligonal cerrada.

Vértice: cada uno de los puntos comunes a dos lados consecutivos.

Centro: punto que equidista de todos los vértices.

Apotema: segmento que une el centro del polígono con el punto medio de cada lado.

Radio: segmento que une el centro del polígono con cada uno de los vértices.

Diagonal: segmento cuyos extremos son dos vértices no consecutivos.

Ángulo interior: cada uno de los ángulos  formados por dos vértices no consecutivos.

Cada polígono regular recibe un nombre según el número de lados, por ejemplo el de tres lados se le conoce como triángulo equilátero, el de cuatro: cuadrado, el de cinco lados: pentágono, el que tiene seis lados: hexágono, etc.

POLÍGONO IRREGULAR

Un polígono Irregular es aquél  polígono con lados y ángulos desiguales, como se puede apreciar en la Figura IV.

PERÍMETROS Y ÁREAS DE POLÍGONOS

El perímetro² de una figura plana, es la suma de las longitudes de sus lados, sus unidades pueden estar en centímetros (cm), metros (m), kilómetros (km), etc.

 El área de una figura corresponde a la medida de la superficie que dicha figura ocupa (región plana en dos dimensiones). El cálculo del área se realiza de forma indirecta, es decir, hay que recurrir a diferentes fórmulas matemáticas para conocerla, no podemos medirla como hacemos con las longitudes. Sus unidades suelen encontrarse en unidades cuadradas como pueden ser: m2, m², km², etc.

ÁREA DE POLÍGONOS REGULARES

Para el caso de los polígonos regulares, calcular su área no es tan complicado siempre y cuando se tengan algunos datos de entrada, por ejemplo; el área de un triángulo es igual a la multiplicación de la base por su altura dividido entre dos, el área de un cuadrado es la multiplicación de un lado por sí mismo,  y  el área de un polígono regular de cinco  o más lados, es igual a la multiplicación del perímetro por su apotema dividido entre dos.

ÁREA DE POLÍGONOS IRREGULARES

Para calcular el área de un polígono irregular es un poco más complicado el proceso; se trabaja con métodos indirectos, estos métodos, básicamente son tres: el llamado método de triangulación, el uso de una trama cuadriculada o, en algunos casos, descomponer el polígono en cuadriláteros conocidos, en la figura V se ilustra un método para calcular el área de un polígono irregular mediante el método de triangulación.

MÉTODO DE TRIANGULACIÓN PARA CALCULAR ÁREA DE POLÍGONOS IRREGULARES

La Triangulación⁵ consiste en descomponer el polígono irregular en triángulos conocidos pequeños sin perder la forma del polígono irregular original. Por lo tanto, el área se obtiene triangulando el polígono y sumando el área de dichos triángulos.

Fórmula representativa de la triangulaciónEJEMPLO⁴ DEL MÉTODO DE TRIANGULACIÓN PARA CALCULAR EL ÁREA DE UN POLÍGONO IRREGULAR

Se pretende estimar el área de la figura VI.El primero paso es seccionar la figura en triángulos, tal como se aprecia en la figura VII.

Las regiones o superficies A1 y A2, corresponden a  las áreas que se deben calcular por separado para al final sumarlas y así obtener el área total del polígono irregular.

Para el caso de A1, se aplica la fórmula del área de un triángulo la cual indica multiplicar la base por la altura y dividirla entre dos:Para el caso de A2, ocupamos la altura del triángulo  como se muestra en la figura VIII:La base del triángulo de la figura VIII se obtuvo aplicando  el teorema de Pitágoras en base a los dos catetos del triángulo rectángulo del área uno (A1) y la altura es proporcionada en la figura VIII.

Por lo tanto el estimado del área total del polígono irregular o cuadrilátero es:

A = A1 + A2 ≈ 2.5cm² +7.0125cm²  ≈ 9.5125 cm²

NUEVAS FÓRMULAS PARA CALCULAR EL ÁREA DE CASOS ESPECIALES DE POLÍGONOS IRREGULARES

Supongamos que tenemos un triángulo rectángulo y realizamos una interpretación de áreas mediante el teorema de Pitágoras, tal como se muestra en la siguiente figura:

Si unimos los vértices mediante segmentos, para dar forma a un polígono tendremos:

A partir de ahí obtenemos un polígono irregular de seis lados tal como se muestra en la siguiente figura:

Para este caso especial, podemos conocer el área total si nos empeñamos en conocer el área parcial de cada  polígono (triángulos y cuadriláteros) de la figura XII.En la figura XII observamos que podemos calcular el área total del polígono, si logramos calcular cada área parcial de los triángulos y cuadrados.

DEMOSTRACIÓN

Por lo tanto el área total del polígono irregular convexo sería la suma de áreas parciales de los triángulos y cuadrados involucrados.

A_T = AAmarillo + AVerde + AAazul + ARojo + AT1 + AT2 + AT3 =

= (a*b)/2+a²+b²+c² + (a*b)/2 + (a*b)/2 + (a*b)/2

= 4(a*b)/2 + a² + b² +c²

=2(a*b) + a² + b² +c²

A_T = (a + b)² + c² que también puede ser A_T= 2[(a*b) + c²]  

Con esto podemos calcular el área de un polígono irregular, con las características de la figura XI con base a la medida de  sus lados, y que tres de ellos correspondan a una terna pitagórica, los valores de la terna pitagórica, el requisito es que los tres valores de la terna no deben figurar como lados consecutivos sino alternos.EJEMPLO DE APLICACIÓN MEDIANTE LA FÓRMULA ENCONTRADA

Calcule el área del siguiente polígono irregular:

Si la figura interior aguarda una terna pitagórica cuyos valores no sean lados consecutivos, se puede calcular el área mediante la fórmula encontrada. Encontramos la terna (3, 4, 5) que  forman un triángulo rectángulo tal como se aprecia en la figura XV.

Por lo tanto, es posible hallar el área en base a la fórmula propuesta en esta investigación, solo será necesario sustituir los valores de la terna pitagórica del polígono irregular en la fórmula encontrada.

A_T = (a + b)² + c² = (3 + 4)² + 5² = 7² + 5² = 49 + 25 = 74 Unidades Cuadradas.

Consideremos ahora una transformación del polígono, que ocurre cuando se elimina al área correspondiente a la hipotenusa del triángulo interior.Esta variación da lugar a un polígono irregular de seis lados, se puede calcular fácilmente su área simplemente eliminando de la expresión obtenida los términos ARojo, AT1 y AT3, quedando de la siguiente manera:

A_T = AAmarillo + AVerde + AAazul + ARojo + AT1 + AT2 + AT3 =

= (a*b)/2+a²+b² + (a*b)/2

= 2(a*b)/2 + a² + b²

=ab + a² + b²

A_T = ab + a² +b²

El mismo principio se puede aplicar en polígonos de cinco lados si se elimina un componente de la terna, específicamente alguno de los catetos del triángulo interior por lo que hay dos alternativas.

En el primer caso la expresión quedaría:

A_T = AAmarillo + AAazul + ARojo + AT3 =

= (a*b)/2+b²+c² + (a*b)/2

= 2(a*b)/2 + b² +c²

A_T = ab + b² +c²

De forma análoga en el segundo caso:

A_T = ab + a² +c²

CONCLUSIONES

Como es sabido, es imposible calcular el área de un polígono irregular si solo se conocen sus lados, sin embargo, hay una familia especial de “polígonos pitagóricos” cuyas características se han descrito anteriormente, para las cuales, se ha demostrado la excepción a la regla.

Las expresiones obtenidas en el presente artículo ofrecen un camino por demás sencillo para calcular el área de un polígono irregular a partir de sus lados únicamente, lo cual constituye una herramienta útil en la geometría y abre el horizonte a nuevas incursiones en los terrenos de estas figuras aparentemente aleatorias.

 BIBLIOGRAFIA.

1. Consultor Matemático: “Álgebra” (1995). L. Galdós, 1995, Ed. Cultural, España
2. Recursos TIC Educación (2018). Polígonos, Perímetros y Áreas. España. Recuperado el 10 de mayo de 2020 de: http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/EDAD_1eso_poligonos_perimetros_areas/1quincena9.pdf
3. Universo Fórmulas (2018). Polígono Irregular. Recuperado el 11 de mayo de 2020 de: https://www.universoformulas.com/matematicas/geometria/poligono-irregular/
4. Aprende Matemáticas (2018). Triangulación de Polígonos. Recuperado el 11 de mayo de 2020 de: https://www.aprendematematicas.org.mx/unit/triangulacion-de-poligonos/
5. Wikipedia (2020). Polígono Irregular. Recuperado el 11 de mayo de 2020 de: https://es.wikipedia.org/wiki/Pol%C3%ADgono_irregular
6. Google Imágenes (2018). Recuperado de https://www.google.com 

AUTORES DEL ARTÍCULO

 José de Jesús Camacho Medina¹ se graduó del Instituto Tecnológico Superior de Fresnillo a finales del año de 2007 como Ingeniero. En el año 2011 concluye sus estudios de Maestría en Matemática Educativa con línea de investigación en Matemática Aplicada. Es Profesor de Matemáticas a nivel Bachillerato y Superior, también es miembro investigador de la OEIS.org (Enciclopedia en Línea de Secuencias Enteras) realizando aportes desde el año 2013  en teoría de números y matemática recreativa, escribe artículos de divulgación científica y  poesía.

Leonel Iván Miranda Méndez². Ingeniero Civil egresado de la UAZ con la tesis «Análisis estructural de marcos planos ortogonales». Docente en TecNM campus Fresnillo en las carreras de Arquitectura e Ingeniería en Minas, Consultor en las áreas de Ingeniería estructural, topografía y costos.

pepe9mx@yahoo.com.mx¹

ivan5114@gmail.com²

Mayo de 2020

Fresnillo, Zacatecas, México

PARA CITAR ESTE ARTÍCULO

José de Jesús Camacho Medina, Leonel Iván Miranda Méndez (2020).Fórmulas Para Calcular El Área De Casos Especiales De Polígonos Irregulares [En línea]. Disponible en Revista MasScience: https://www.masscience.com/formulas-para-calcular-el-area-de-casos-especiales-de-poligonos-irregulares/