RESUMEN.
En el presente artículo se comparten fórmulas para calcular la raíz digital, y la suma digital de un número entero positivo. Las formulas presentadas, forman parte del trabajo del autor en el campo de la teoría de números, y las ofrece como propuesta debido a la escasez de expresiones de esta índole.
AUTOR
José de Jesús Camacho Medina
«Las matemáticas son la puerta y la llave de las ciencias»
[Roger Bacon ( 1214 – 1294) Filósofo Inglés]
INTRODUCCIÓN
En el campo de la teoría de números, encontramos, a dos conceptos clave que tienen que ver con los dígitos que componen a cierto número entero positivo. Nos referimos a la Raíz Digital y a la Suma Digital. Estos conceptos son procesos sencillos y fáciles en relación a su desarrollo. No obstante, las expresiones matemáticas o fórmulas que permiten calcular tales procedimientos o tareas son limitadas y complejas. Es por ello que en el presente trabajo, el autor ofrece algunas fórmulas como propuesta y alternativa para aminorar tal problemática.
RAÍZ DÍGITAL DE UN NÚMERO
Comenzaremos diciendo que la raíz digital de un número entero positivo, también conocida en inglés como digital root, es el único dígito que resulta al sumar todos los dígitos de dicho número, el objetivo es ir sumando los dígitos de cada número resultante hasta obtener un solo dígito.
EJEMPLOS DE RAÍZ DIGITAL DE UN NÚMERO
1)
Sea el Número Entero 12345
Su Raíz Digital se desarrolla de la siguiente manera:
1+ 2 + 3 + 4 + 5 = 15;
Como el número resultantes es 15 y tiene más de un dígito, volvemos a repetir el proceso hasta llevar el resultado a un solo dígito: 1 + 5 = 6.
Por lo tanto, la raíz digital de 12345 es 6.
2)
Sea el Número Entero 34
Su Raíz Digital se desarrolla de la siguiente manera:
3+ 4 = 7;
Como el número resultantes es de un solo dígito, terminamos el proceso.
Por lo tanto, la raíz digital de 34 es 7.
APLICACIONES DE LA RAÍCES DIGITALES
Se dice que las raíces digitales pueden ayudar a revisar cálculos complicados. Tenemos un ejemplo clásico de su aplicación en la multiplicación o incluso en la división.
La Prueba del Nueve
Esta técnica3 se utilizaba para comprobar si el resultado de una multiplicación o una división era la correcta, aunque en realidad, la prueba del nueve no era muy confiable, en el sentido de certificar si contábamos con la total certeza de que la operación estuviera bien.
Ejemplo de la Prueba del Nueve
Consiste en hallar la raíz digital de los factores y del resultado por separado. La operación es correcta si la raíz digital del producto de las raíces digitales de los factores coincidía con la raíz digital del resultado. Como se muestra en la figura I.
Figura I. “Ejemplo de Aplicación de la Raíz Digital en la Multiplicación”
IMPORTANCIA DE LA RAÍZ DIGITAL Y FÓRMULA ACTUAL
Otro de los aspectos a destacar de la raíz digital de un número entero positivo es el hecho de que permite visualizar la posición de los números naturales en relación al mayor múltiplo de 9 menos que el número en sí.
EJEMPLOS
1)
Sea 2 la raíz digital de 11, ya que 1+1=2.
Esto significa que 11 es el segundo número después del 9.
2)
Sea 1 la raíz digital de 2035, ya que 2+0+3+5=10; 1+0=1.
Esto significa que 2035 – 1 es un múltiplo de 9. Si un número produce una digitales raíz de exactamente 9, entonces el número es un múltiplo de 9.
La Raíz Digital de un Número entero positivo suele representarse mediante el símbolo dr(n), en la figura II y III podemos apreciar su gráfica para los primeros 50 valores enteros y su fórmula actual basada en el concepto de congruencias.
Figura II. “Gráfica de la raíz digital para los primeros 50 valores enteros”Figura III. “Fórmula de la raíz digital de un número entero basada en congruencias”Figura III. “Fórmula de la raíz digital de un número entero basada en congruencias”
FÓRMULA PROPUESTAS POR EL AUTOR
En base a las características de la raíz digital de un número entero positivo podemos encontrar una función que la defina a partir de la función piso o suelo:Esta fórmula fue registrada el 20 de noviembre de 2014 en la enciclopedia en línea de secuencias enteras (oeis.org) tal como lo muestra la figura IV.
Su código de ejecución para los primeros cien valores el programa de Wolfram Mathematica es:
Join [Range[0, 1], Table[n – 9 Floor[(n – 1) / 9], {n, 2, 100}]]
Figura IV. “Registro en color naranja de la fórmula para la raíz digital de un número entero mayor a cero en la enciclopedia en línea de secuencias enteras”
SUMA DIGITAL DE UN NÚMERO
En matemáticas, la suma digital de un número entero positivo, es el resultado de sumar todos sus dígitos.
EJEMPLOS DE LA SUMA DIGITAL DE UN NÚMERO
1)
Sea el Número Entero: 369
La Suma Digital se desarrolla de la siguiente manera:
3 + 6 + 9 = 18.
Por lo tanto, la suma digital de 369 es 18.
2)
Sea el Número Entero 271
La Suma Digital se desarrolla de la siguiente manera:
2 + 7 + 1 = 10;
Por lo tanto, la suma digital de 271 es 10.
La suma digital para un número entero positivo “n” es conocida como digsum(n) y para los primeros valores de “n” se produce la secuencia:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15…
FÓRMULA ACTUAL
Según las fuentes de información consultadas, se considera la expresión de la figura V la fórmula actual para calcular la suma digital de un número entero:
Figura V. “Fórmula actual para la suma digital de un número entero”
FÓRMULAS PROPUESTAS POR EL AUTOR
En base a las características de la suma digital de un número entero positivo podemos encontrar una función que la defina:
Esta fórmula fue registrada el 31 de marzo de 2014 en la enciclopedia en línea de secuencias enteras (oeis.org) tal como lo muestra la figura VI.
Su código de ejecución para los primeros cien valores el programa de Wolfram Mathematica es:
Table [Sum [Floor [n/10^k] – 10 * Floor [n/10^ (k + 1)], {k, 0, Floor [Log [10, n]]}], {n, 300}]
Figura VI. “Fórmula propuesta por el autor para la suma digital de un número entero y registrada en la sección de código Mathematica en la enciclopedia en línea de secuencias enteras”
OTRA FÓRMULA PROPUESTA POR EL AUTOR
CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
- En el campo de la teoría de números se carece de fórmulas o expresiones sencillas para calcular la raíz digital y la suma digital de un número entero positivo.
- La mayoría de las fórmulas existentes para calcular la raíz digital y suma digital de algún entero positivo, son de naturaleza compleja, pues abordan funciones que en la práctica computacional se hacen inviables entre más grande sea el número a computar.
- Las fórmulas propuestas en este material son producto de las investigaciones del autor, quien las ofrece como alternativas a lo que existe. En ellas encontramos algunos logaritmos, funciones piso y funciones residuo.
- Las Demostraciones de las fórmulas del autor, no son terrenos lejanos y pudieran ser motivo de un futuro artículo para el futuro.
- Se sugiere hallar más fórmulas o expresiones en torno a la raíz digital y suma digital de un número entero, con el objeto de acrecentar el acervo de estos conceptos claves en matemáticas.
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
- [1] Sloane, N. J. A. Sequences A010888, A007953 in «The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences”.
- [2] Biomuro (2015). Resonancias-matematicas-la-raiz-digital. En Línea. Recuperado el 9 de junio de 2020 de: http://biomuro.blogspot.com/2015/02/resonancias-matematicas-la-raiz-digital.html
- [3] Vicente Viana Martínez (2013). Materiales Didácticos: La Magia del nueve. Recuperado de: http://vviana.es/materiales_didacticos.php
- [4] Weisstein, Eric W. MathWorld (2020). Digital Root. Recuperado de: https://mathworld.wolfram.com/DigitalRoot.html
- [5]Wikipedial(2020).Digital Root. Recuperado de: https://en.wikipedia.org/wiki/Digital_root
- [6] Wikipedia (2020). Digit Sum: Recuperado de https://en.wikipedia.org/wiki/Digit_sum
- [7] Weisstein, Eric W. MathWorld (2020). Digital Sum. Recuperado de: https://mathworld.wolfram.com/DigitSum.html
AUTOR DEL ARTÍCULO
José de Jesús Camacho Medina se graduó del Instituto Tecnológico Superior de Fresnillo a finales del año de 2007 como Ingeniero. En el año 2011 concluye sus estudios de Maestría en Matemática Educativa con línea de investigación en Matemática Aplicada. Es Profesor de Matemáticas a nivel Bachillerato y Superior, también es miembro investigador de la OEIS.org (Enciclopedia en Línea de Secuencias Enteras) realizando aportes desde el año 2013 en teoría de números y matemática recreativa, escribe artículos de divulgación científica y poesía.
pepe9mx@yahoo.com.mx
Junio de 2020
Fresnillo, Zacatecas, México
PARA CITAR ESTE ARTÍCULO
José de Jesús Camacho Medina (2020).Fórmulas para calcular la Raíz Digital y la Suma Digital de un Número Entero Positivo [En línea]. Disponible en MasScience: https://www.masscience.com/formulas-para-calcular-la-raiz-digital-y-la-suma-digital-de-un-numero-entero-positivo/
Esta es una fórmula que se puede implementar fácilmente en Excel:
Si en la celda A3 se introduce el número, su raíz digital es:
=IF(A3-(9*INT(A3/9))=0;9;A3-(9*INT(A3/9)))