RESUMEN.

En el presente  artículo  se  comparten  fórmulas  para calcular la raíz digital, y la suma digital de un número entero positivo. Las formulas presentadas, forman parte del trabajo del autor en el campo de la teoría de números, y las ofrece como propuesta debido a la escasez de expresiones de esta índole.

AUTOR

José de Jesús Camacho Medina

 

«Las matemáticas son la puerta y la llave de las ciencias»

[Roger Bacon  ( 1214 – 1294) Filósofo Inglés]

INTRODUCCIÓN

En el campo de la teoría de números, encontramos, a dos conceptos clave que tienen que ver con los dígitos que componen a cierto número entero positivo. Nos referimos a  la Raíz Digital y a la Suma Digital. Estos conceptos son procesos sencillos y fáciles en relación a su desarrollo. No obstante,  las expresiones matemáticas o fórmulas que permiten calcular tales procedimientos  o tareas  son limitadas y complejas. Es por ello que en el presente trabajo,  el autor ofrece algunas fórmulas como propuesta y alternativa para aminorar tal problemática.

RAÍZ DÍGITAL DE  UN NÚMERO

Comenzaremos diciendo que la raíz digital  de un número entero positivo, también conocida en inglés como digital  root, es el único dígito que resulta  al sumar todos los dígitos de  dicho  número, el objetivo es ir sumando  los dígitos de cada número resultante hasta obtener  un solo dígito.

EJEMPLOS  DE RAÍZ  DIGITAL DE UN NÚMERO

1)

Sea el Número Entero  12345

Su Raíz Digital  se desarrolla de la siguiente manera:

1+ 2 + 3 + 4 + 5 = 15;

Como el número resultantes es 15 y tiene más de un dígito, volvemos a repetir el proceso hasta llevar el resultado a un solo dígito: 1 + 5 = 6.

Por lo tanto, la raíz digital de 12345  es 6.

2)

Sea el Número Entero  34

Su Raíz Digital  se desarrolla de la siguiente manera:

3+ 4 = 7;

Como el número resultantes es de un solo dígito, terminamos el proceso.

Por lo tanto, la raíz digital de 34  es 7.

APLICACIONES DE LA RAÍCES DIGITALES

Se dice que las raíces digitales pueden ayudar a revisar  cálculos  complicados. Tenemos un ejemplo clásico de  su aplicación en la multiplicación o incluso en la división.

 La Prueba del Nueve

Esta técnica³  se utilizaba para comprobar si el resultado de una multiplicación o una división era la correcta,  aunque  en realidad,  la prueba del nueve no era muy  confiable,  en  el sentido de certificar  si contábamos con la  total certeza de que la operación estuviera bien.

Ejemplo de la Prueba del Nueve

Consiste en hallar la raíz digital de los factores y del resultado por separado. La operación es correcta si la raíz digital del producto de las raíces digitales de los factores coincidía con la raíz digital del resultado. Como se muestra en la figura I.

Figura I. “Ejemplo de Aplicación de la Raíz Digital en la Multiplicación”

IMPORTANCIA DE LA RAÍZ DIGITAL Y FÓRMULA ACTUAL

Otro de los aspectos a destacar de la raíz digital de un número entero positivo es el hecho de que  permite visualizar la posición de los números naturales en relación al mayor múltiplo de 9 menos que el número en sí.

 EJEMPLOS

1)

Sea 2 la raíz digital de  11,  ya que 1+1=2.

Esto significa que 11 es el segundo número después del 9.

2)

Sea 1 la raíz digital de 2035,  ya que 2+0+3+5=10; 1+0=1.

Esto significa que 2035 – 1 es un múltiplo de 9. Si un número produce una digitales raíz de exactamente 9, entonces el número es un múltiplo de 9.

La Raíz Digital de un Número entero positivo suele representarse mediante el símbolo dr(n), en la figura II y III podemos apreciar su gráfica para los primeros 50 valores enteros y su fórmula actual basada en el concepto de congruencias.

Figura II. “Gráfica de la raíz digital para los primeros 50 valores enteros”Figura III. “Fórmula de la raíz digital de un número entero basada en congruencias”Figura III. “Fórmula de la raíz digital de un número entero basada en congruencias”

FÓRMULA  PROPUESTAS POR EL AUTOR

En base a las  características de la raíz digital de un número entero positivo podemos encontrar una función que la defina a partir de la función piso o suelo:Esta fórmula fue registrada  el 20 de noviembre de 2014 en la enciclopedia en línea de secuencias enteras (oeis.org) tal como lo muestra la figura IV.

Su código de ejecución para los primeros cien valores   el programa  de Wolfram Mathematica es:

Join [Range[0, 1], Table[n – 9 Floor[(n – 1) / 9], {n, 2, 100}]]

Figura IV. “Registro en color naranja de la fórmula para la raíz digital de un número entero mayor a cero en la enciclopedia en línea de secuencias enteras”

SUMA DIGITAL DE UN NÚMERO

En matemáticas, la suma digital de un número entero positivo, es el resultado de sumar todos sus dígitos.

EJEMPLOS  DE LA  SUMA DIGITAL DE UN NÚMERO

1)

Sea el Número Entero: 369

La  Suma Digital  se desarrolla de la siguiente manera:

3 + 6 + 9 = 18.

Por lo tanto, la suma digital de 369  es 18.

2)

Sea el Número Entero  271

La Suma Digital  se desarrolla de la siguiente manera:

2 + 7 + 1 = 10;

Por lo tanto, la suma digital de 271  es 10.

La suma digital para un número entero positivo “n” es conocida como  digsum(n) y para los primeros valores de “n” se produce la secuencia:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15…

FÓRMULA ACTUAL

Según las fuentes de información consultadas, se considera la expresión de la figura V  la fórmula  actual para calcular la suma digital de un número entero:

Figura V. “Fórmula actual para la suma digital de un número entero”

FÓRMULAS PROPUESTAS POR EL AUTOR

En base a las  características de la suma digital de un número entero positivo podemos encontrar una función que la defina:

Esta  fórmula fue registrada  el 31 de marzo de 2014 en la enciclopedia en línea de secuencias enteras (oeis.org) tal como lo muestra la figura VI.

Su código de ejecución para los primeros cien valores   el programa  de Wolfram Mathematica es:

Table [Sum [Floor [n/10^k] – 10 * Floor [n/10^ (k + 1)], {k, 0, Floor [Log [10, n]]}], {n, 300}]

Figura VI. “Fórmula propuesta por el autor para la suma digital de un número entero y registrada en la sección de código Mathematica en la enciclopedia en línea de secuencias enteras”

OTRA FÓRMULA  PROPUESTA  POR EL AUTOR

CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

• En el campo de la teoría de números se carece de fórmulas o expresiones sencillas para calcular la raíz digital y la suma digital de un número entero positivo.
• La mayoría de las fórmulas  existentes para calcular la raíz digital y suma digital de algún entero positivo,  son de naturaleza compleja, pues abordan funciones que en la práctica computacional se hacen inviables entre más grande sea el número a computar.
• Las fórmulas propuestas en este material son producto de las investigaciones del autor, quien las ofrece como alternativas a lo que existe. En ellas encontramos algunos logaritmos, funciones piso  y funciones residuo.
• Las Demostraciones de las fórmulas del autor, no son terrenos lejanos y pudieran ser motivo de un futuro artículo para el futuro.
• Se sugiere hallar más fórmulas o expresiones en torno a la raíz digital y suma digital de un número entero, con el objeto de  acrecentar el acervo de estos conceptos claves en matemáticas.

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

• [1] Sloane, N. J. A. Sequences A010888, A007953 in «The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences”.
• [2] Biomuro (2015). Resonancias-matematicas-la-raiz-digital. En Línea. Recuperado  el 9 de junio de 2020 de: http://biomuro.blogspot.com/2015/02/resonancias-matematicas-la-raiz-digital.html
• [3] Vicente Viana Martínez (2013). Materiales Didácticos: La Magia del nueve. Recuperado de: http://vviana.es/materiales_didacticos.php
• [4] Weisstein, Eric W.   MathWorld  (2020).  Digital Root. Recuperado de: https://mathworld.wolfram.com/DigitalRoot.html
• [5]Wikipedial(2020).Digital Root. Recuperado de: https://en.wikipedia.org/wiki/Digital_root
• [6] Wikipedia (2020). Digit Sum: Recuperado de https://en.wikipedia.org/wiki/Digit_sum
• [7] Weisstein, Eric W.   MathWorld  (2020).  Digital Sum. Recuperado de: https://mathworld.wolfram.com/DigitSum.html

AUTOR DEL ARTÍCULO

José de Jesús Camacho Medina se graduó del Instituto Tecnológico Superior de Fresnillo a finales del año de 2007 como Ingeniero. En el año 2011 concluye sus estudios de Maestría en Matemática Educativa con línea de investigación en Matemática Aplicada. Es Profesor de Matemáticas a nivel Bachillerato y Superior, también es miembro investigador de la OEIS.org (Enciclopedia en Línea de Secuencias Enteras) realizando aportes desde el año 2013  en teoría de números y matemática recreativa, escribe artículos de divulgación científica y  poesía.

pepe9mx@yahoo.com.mx

Junio de 2020

Fresnillo, Zacatecas, México

PARA CITAR ESTE ARTÍCULO

José de Jesús Camacho Medina (2020).Fórmulas para calcular la Raíz Digital y la Suma Digital de un Número Entero Positivo [En línea]. Disponible en MasScience: https://www.masscience.com/formulas-para-calcular-la-raiz-digital-y-la-suma-digital-de-un-numero-entero-positivo/