Post Araceli Giménez Lorente.
Ilustraciones de Alejandro Pérez.
La teoría de grafos como definición nos dice que un grafo es un par (G=(V,E)), de vértices y de aristas o ejes donde V y E son conjuntos. Dicho así es abstracto pero tiene una aplicación en nuestro mundo, en la vida cotidiana, como cuando necesitamos llegar a un lugar en transporte público, necesitaríamos un plano del metro, tren o de autobús, donde las paradas son los vértices y la trayectoria las aristas; en la tecnología como en la informática, se pueden crear algoritmos como el problema del cartero, como hacer la ruta más corta de manera que cada casa es un vértice, el trayecto es una arista y no se puede pasar dos veces por el mismo punto y en aeronáutica tenemos las rutas de los aviones, hay muchas más aplicaciones pero no son objeto de este post de divulgación.
Al observar la Naturaleza si miramos el cielo nocturno tenemos las constelaciones, si miramos con visión global desde satélite, podremos ver la ruta de migraciones por ejemplo de las mariposas monarcas y tenemos otros grafos naturales como la danza de las abejas. Todos estos fenómenos naturales vamos a tratarlos de manera amena que se pueda entender.
Las constelaciones que vemos desde nuestro cielo cuando baja la luz del sol, se pueden reducir cada una de ellas a un conjunto, donde las estrellas son los vértices y al conectarlas entre ellas dibujaríamos unas líneas rectas que llamaremos aristas.
Hay que señalar qué aunque tenemos doce signos del zodiaco en realidad podemos ver trece constelaciones desde nuestro cielo, la número trece se llama Ofiuco, y el tiempo que aparece el sol en cada constelación es variable, no siempre veremos las trece el tiempo que nos han hecho creer, cambiará a lo largo de los años porque el primer zodiaco fue creado hace 2.500 años, en la antigua Babilonia, y en esa época el Sol pasaba en fechas diferentes por las constelaciones, cuatro semanas antes; además el tiempo en el que permanece el Sol en las constelaciones es irregular, pasa una semana solo en Escorpio y en Vigo un mes y medio, por ejemplo, por lo que la astrología no tiene ningún fundamento científico. El orden correcto de estas constelaciones son:
Aries, Tauro, Géminis, Cáncer, Leo, Virgo, libra, Escorpio, Ofiuco, Sagitario, Capricornio, Acuario y Piscis.
Como por el imaginario colectivo conocemos las otras constelaciones correspondientes al zodiaco, solo se explicará la constelación de Ofiuco o encantador de serpientes. Es antigua y la representan con la forma de un hombre con una serpiente enroscada en su cuerpo, esta es la constelación de la serpiente, el sol se encuentre en ella entre el 30 de noviembre y el 18 de diciembre.[1]
Si nos centramos en el grafo de las constelación Ofiuco tendríamos la figura 1.
Fig. 1 grafo asociado a la constelación Ofiuco, donde la sigla v significa vértice y la letra e eje y hace referencia a las aristas. Imagen de la autora del post.
Otro asunto es el de las migraciones de aves, de insectos y de cetáceos, las cuales vienen dadas porque se persigue el clima, debe ser más cálido para poder conseguir alimento y bienestar. Nos centraremos en el ciclo migratorio de las ballenas, son largos viajes que pueden ser de hasta 25.000 km, es el caso de las ballenas grises, y de 18.000 km en el caso de las ballenas jorobadas. En los meses de enero a febrero se desplaza hacía zonas de apareamiento y cría en latitudes bajas, y de junio a julio a zonas ricas en alimentos en latitudes altas.[1] Las orcas para mudar su piel necesitan de zonas más cálidas.
Otras de las grandes migraciones son de la especie mariposa monarca, que se encuentra en el Caribe, en las Islas Canarias, Azores y Madeira, y en Europa Occidental, incluso ha sido introducida en Nueva Zelanda y Australia, pero es solo la que habita en el Norte de América la que hace grandes migraciones llegando a recorrer hasta 5.000 km [3]. Cada otoño migran de forma masiva desde el sur de Canadá y el norte de los EEUU hacía México pasando por California [4], es el mismo camino que han realizado sus ancestros durante siglos y en ocasiones pueden llegar a volver al mismo árbol de partida. ¿Y esta migración cómo se representaría en un grafo?, aquí tendríamos otro tipo de grafo que sería el concepto de árbol, que podemos ver en la figura 2.
Fig. 2 grafo árbol asociado a una de las migraciones de la mariposa monarca. Imagen de la autora del post.
fig.3. Migraciones. Ilustración de Alejandro Pérez.
Las abejas exploradoras Apis mellifera, conocidas vulgalmente como la abeja de la miel, realizan dos tipos de danza, “la danza en círculo” y “la danza en ocho”, y hay una subespecie italiana llamada Apis mellifera lingustica que ha desarrollado un tercer tipo de danza, “la danza en hoz”.
Vamos a definir y analizar las tres diferentes danzas y su geometría.
En primer lugar tenemos “la danza en círculo“, la abeja exploradora comunica a los demás que la fuente de alimento está en un radio menor igual a 10 metros. La intensidad de la danza en la relación con la velocidad y la duración les dice a las demás como es de abundante la fuente de alimentación, además la abeja deja el olor de la flor con la que ha estado en contacto.
La segunda danza llamada “en hoz” indica distancias entre 10-100 metros de la fuente de alimentación.
La tercera es “la danza en ocho”, que nos dice que la fuente está situada en un radio mayor a 100 metros. Aquí el eje central, la línea sinuosa según el ángulo respecto al sol nos dice la posición aproximada del origen del alimento.
Además de estas danzas hay un par que no va a ser objeto de este estudio, que son la danza en espiral y la danza de la limpieza, la primera la realizan las abejas para avisar que el néctar es tóxico y se ha distribuido por la colmena, mientras que en la segunda mueven su cuerpo de izquierda a derecha levantando y bajando sus patas anteriores. No las consideraremos al no poderlas consideras como grafo por no tener información necesaria para estudiarlas. [5]
En la representación gráfica los vértices son los puntos de inflexión de la trayectoria, es decir, las aristas o ejes. Como la trayectoria tiene una dirección única se les llamarán dígrafos, donde la dirección de la trayectoria se indicará con una flecha, llamando origen al primer vértice de la arista y fin al segundo. [6]
Fig.4. grafos asociados a las tres danzas de las abejas. De izquierda a derecha danza en círculo, danza en Hoz, y danza en ocho. Imagen de la autora del post.
A partir de estos tres grafos asociados a la danza de las abejas (fig.4), podemos determinar el camino que es único y se cuenta contando los vértices, es el camino real que recorre las abejas para realizarlos:
Fig.5. Danza en círculo de las abejas. Ilustración de Alejandro Pérez.
Camino de la danza en círculo:
v1, v1 v2, v2, v2 v3,v3, v3 v4, v4, v4 v5, v5, v5 v6, v6, v6 v7, v7, v7 v8,v8, v8 v9, v9, v9 v10, v10, v10 v11, v11, v11 v5, v5, v5 v12, v12, v12 v13, v13
Como podemos ver este camino no es cerrado porque empieza en el vértice primero y acaba en el decimotercero.
Para el camino, que es único, de la danza en hoz tendremos:
v1, v1 v2, v2, v2 v3,v3, v3 v1, v1, v1 v4, v4, v4 v5, v5, v5 v1, v1
Este camino es cerrado porqué como podemos ver empieza en el vértice primero y acaba en el mismo vértice.
Y para el camino de la danza en ocho:
v1, v1 v2, v2, v2 v3, v3, v3 v4, v4, v4 v5, v5, v5 v6, v6, v6 v7, v7, v7 v8, v8, v8 v9, v9, v9 v10, v9 v11, v10, v10 v1, v11, v11 v1, v1
Como el anterior camino este también es cerrado.
Y para qué nos sirve esto en la vida real?, como hemos dicho antes en el ejemplo del problema del cartero, para encontrar el camino óptimo, el más eficiente, el más corto y que no pasa dos veces por el mismo punto.
Solo con observar a la Naturaleza podemos aprender matemáticas, no las que vimos en la escuela, que es solo aritmética, geometría o álgebra, sino las verdaderas matemáticas, las de un lenguaje universal que sirve para entender a la naturaleza y por extrapolación al universo.
Referencias
[1] El País. Ofiuco, el ‘signo’ del zodiaco que descol·loca a los astrólogos. (2016). Disponible en línea:
https://elpais.com/elpais/2015/12/14/ciencia/1450110558_090265.html
[2] Díaz San Andrés, A.: 6.4. Migraciones. Biogeografia.net. (2019). Disponible en línia:
https://biogeografia.net/distribucion04.html
[3] National Geographic. Mariposa Monarca. (2010). Disponible en línia:
https://www.nationalgeographic.es/animales/mariposa-monarca
[4] Scientific American (Español). La mariposa monarca lleva la migración en los genes. (2014). Disponible en línia:
[5] Aceña Palomar, J.M.: El sistema de comunicación de las abejas.Didáctica. Lengua Y Literatura, 2; 19. (1990). https : ==dx:doi:org=10:5209=DIDA,https :
==revistas:ucm:es=index:php=DIDA=article=view=DIDA9090110019A.
[6] Bujalance, E., Bujalance, J.A., Costa,A.F.,Martínez,E.: Elementos de
Matematica Discreta. UNED. Sanz y Torres, Madrid (2005).
