Las matemáticas en los radares de tráfico.

Hace años, el control de la velocidad en las carreteras se reducía a una serie de radares fijos o móviles que captaban la velocidad a la que un conductor circulaba por la carretera en un momento determinado, es decir captaban la velocidad en el punto donde se sitúa el radar. Si ésta estaba por encima de los límites establecidos, el conductor es sancionado.

Sin embargo es “fácil” que cualquier conductor avispado sea capaz de saltarse los límites de velocidad, y no ser cazado, ya que simplemente frenando antes de llegar al radar es suficiente, ya que en el momento de cruzarlo nuestra velocidad irá dentro de los límites y por lo tanto no seremos multados, pudiendo volver a acelerar una vez pasado el control.

Señal informando de la proximidad de un radar de tramo

Hoy día la tecnología ha avanzado mucho en este campo y  la Dirección General de Tráfico (DGT) tiene actualmente a su disposición una amplia gama de radares de tráfico para localizar a los conductores que incumplen las normas, actualmente los tipos de radares son:

• Radares fijos: Estos radares son denominados por la DGT por “cinemómetros sin operador”, son ubicados en cabinas y suelen estar al margen de la carretera, aunque también pueden estar situados en pórticos o postes. Estos radares deben estar señalizados, por lo que el conductor encontrará antes una señal que avisa de su presencia.
• Radares móviles: Son denominados por la DGT como «cinemómetros con operador». Están situados en coches camuflados de la Guardia Civil.
• Radares de tramo: Son denominados “cinemómetro velocidad media en tramo” Son más fiables que los fijos, ya que hallan la velocidad media que el vehículo lleva durante un determinado tramo.
• Foto-rojo: Este tipo de radares no mide la velocidad, sino que su objetivo es cazar a aquellos conductores que se saltan un semáforo en rojo.
• Helicóptero Pegasus: Se trata de un helicóptero dotado con dos cámaras de vigilancia. Una de las cámaras es panorámica que facilita el seguimiento y captación de la velocidad, y la otra de detalle, dotada con un teleobjetivo que permite leer la matrícula del vehículo desde una altura de 300 metros y un kilómetro de distancia de su objetivo. Esta última cámara también capta la velocidad media.

En este artículo vamos a tratar de explicar el funcionamiento de los radares de tramo situados en nuestras carreteras. Los radares de tramo constan de dos cámaras de visión artificial infrarrojas situadas en cada uno de los carriles e instaladas al comienzo y al final del tramo a vigilar. De ésta forma son capaces de grabar a todos los vehículos que entran y salen del tramo así como su matrícula. Con los datos recogidos los radares calculan la velocidad media del vehículo en el tramo, de forma que si es superior al límite establecido, habremos incumplido la norma y por tanto seremos multados.

Radar de tramo

El motivo de que éstos radares descubran que hemos incumplido la norma se encuentra en el conocido Teorema de Lagrange o Teorema del Valor medio, que nos dice:

Sea f una función definida sobre un intervalo cerrado [a,b] con valores reales. Si la función es continua en el intervalo cerrado y derivable en el intervalo abierto (a,b), entonces existe al menos un punto c, del intervalo (a,b), en el que se cumple:

Teorema de Lagrange

Es decir nos dice que existe un punto del interior del intervalo en el que la derivada de la función coincide con la variación media de la función en dicho intervalo.

Vamos a poner un caso práctico de cómo funcionan estos radares, y cómo se aplica este teorema de Lagrange en el funcionamiento del mismo.

Supongamos que viajamos con nuestro vehículo y nos disponemos a cruzar uno de estos radares. El tramo donde está situado tiene una longitud de 1 kilómetro y el límite en ese tramo es de 100 km/h.

Entramos en el tramo a una velocidad de 98km/h y salimos de  30 segundos después a una velocidad de 96 km/h.

Si calculamos la velocidad media que hemos llevado en ese tramo resulta que

velocidad media

Donde para calcular la velocidad media hemos expresado el tiempo que hemos tardado en cruzar el tramo en horas, es decir 30s =0,0083 h.

Por lo tanto la velocidad media que hemos llevado en ese tramo es de 120 km/h superior a los 100 km/h de límite que está permitido circular. Ahora la pregunta es clara ¿Hemos alcanzado en algún momento del tramo la velocidad de 120 km/h?

Aquí es donde entra el Teorema de Lagrange, si consideramos como función f(t) la posición e nuestro coche con respecto al instante de tiempo t, y en consecuencia su derivada será la velocidad del vehículo. Es evidente que la función f(t) es continua respecto de la variable tiempo ya que no podemos pasar de un punto a otro sin pasar por todos los puntos intermedios y derivable ya que no podemos hacer saltos discontinuos de velocidad. El Teorema  nos asegura que existe un punto intermedio c en el intervalo (0; 0´0083) en el cual, la velocidad del vehículo viene dada por:

Ejemplo de aplicación del Teorema de Lagrange

Donde la diferencia de posiciones en los instantes 0,0083 y 0, viene dada por la distancia recorrida en el trayecto, es decir 1 kilómetro.

Es decir, el Teorema, nos indica que en algún momento de ese trayecto hemos alcanzado dicha velocidad, por lo que la DGT puede multarnos al haber evidencias de que hemos superado el límite establecido en un determinado tramo.

Es importante resaltar que en nuestro ejemplo ninguno de los radares, ni el del comienzo del tramo ni el del final ha detectado ninguna irregularidad, ya que hemos pasado a la altura de ambos radares con una velocidad inferior al límite permitido para esa vía, pero en el interior del tramo si hemos superado el límite y por lo tanto seremos multados.

Con este artículo sólo pretendo dar a conocer el funcionamiento de éste tipo de radares, pero es obvio que la mejor forma de no ser multado es no cometer ninguna infracción, por lo que respetar los límites de velocidad siempre es la mejor opción.

Autor: Francisco Morante Quirantes.@fdetsocial

Co-fundador del blog divulgativo de FdeT