En el inicio, antes que la música tuviese notas, los intelectuales disponían de una matemática poco avanzada y no podían optar a una física interestelar. Pero, eso sí, la historia demuestra que entendían muy bien de vibraciones. Obviamente, si recurrimos a los archivos antiguos y traducimos su contenido de forma más o menos literaria veremos que no usaban la palabra vibración en ese sentido. Para mi, decir buenas vibraciones o buenas sensaciones es lo mismo.
Así, Pitágoras de Samos (570aC, 497aC aprox.), intelectual de la época archiconocido hasta hoy, se puso a experimentar con una cuerda musical y a buscar dentro de sí mismo. Imagino que se fijaría en qué sonidos le transmitían mejores vibraciones. Si queremos expresarlo de una manera más convencional, hay que decir que el maestro griego, con ayuda de la intuición de su intelecto, estudió los sonidos producidos por una cuerda.
Los hechos demuestran que tenía un gran sentido práctico y pasó a usar una «guitarra» de una sola cuerda y sin caja de resonancia, es decir, el monocordio (ver aquí). De ese modo observó que al pisar la cuerda por la mitad, le resultaba un sonido equivalente al sonido que producía la cuerda entera. O dicho de una manera más cotidiana, recibía la mismas vibraciones. A ese salto, lo llamó octava. Desconozco su por qué.
Siguió con el experimento y percibió un salto agradable al pasar del tono de la cuerda entera al que se percibe al sonar las dos terceras partes de la misma. Dicho de forma más concisa, se divide la longitud de la cuerda en tres partes iguales, se pulsa y se hace sonar las dos terceras partes de ella, es decir, el tramo largo. A ese salto lo llamó quinta. No hay duda que se basaba en su propia subjetividad.
Unknown. Franchino Gaffurio (publisher) [Public domain], via Wikimedia Commons
Las matemáticas detrás de las notas
El maestro de la escuela pitagórica jugó con la quinta y la octava para obtener todas las notas musicales: Do, Re, Mi, Fa, Sol, La, Sí y sus alteraciones –vaya hasta las notas se alteran–. Este juego trata de ir obteniendo quintas y cuando esta exceda de la octava inicial, obtener su octava equivalente que quede dentro de la anterior. ¿Quieres un ejemplo? Te daré algo más.
Proceso pitagórico para obtener las notas
- Partimos de toda la cuerda, es decir, del 100%, o dicho en tanto por uno: 1.
- Obtenemos su octava, ½, las quintas deben estar entre [½, 1]. Si alguna no está deberemos obtener su octava equivalente y dejarla en ese intervalo.
Ejemplo
- Obtenemos la primera quinta, es decir, las dos terceras partes de la cuerda, ⅔ ≈ 0.6667, como pertenece al intervalo [½, 1] ya tengo una nota.
- Seguimos y vamos a por la quinta de la quinta, es decir, la ⅔ partes de la ⅔ de ella. Esto no es más que ⅔ · ⅔ = (⅔)² = 4/9 ≈ 0.8889 que es mayor que ½, pertenece a la octava o al intervalo [ ½ , 1 ]. La dejamos así.
- Sigo, con otra quinta ⅔ · ⅔ · ⅔ = (⅔)³ = 8/27 no pertenece a [½, 1], por ello multiplico por dos y tendré una octava equivalente. Si la cuerda tuviese la longitud de 16/27 ≈ 0.5926 respecto de la cuerda inicial, al pisar por su mitad sería 8/27 que es una octava, es decir, un sonido que transmite las mismas sensaciones o vibraciones. Lo que explica que el multiplicar por dos nos da quintas equivalentes en la misma octava.
- Continuar hasta llegar a una repetición de quinta o de nota.
Las notas
A continuación, te dejo una tabla que nos es útil para obtener todas las notas musicales. Se supone que hemos partido de la nota La y a partir de ella obtenemos las demás. Dependiendo de la cuerda y su longitud se partirá de una nota u otra, pero el proceso es el mismo.
| “Bajar” tantas octavas como indica el exponente | Su octava equivalente en decimal | Nota Actual | ||
| Toda la cuerda | (⅔)⁰ | 2⁰ | 1 | La |
| 1 Quinta | (⅔)¹ | 2⁰ | 0,6667 | Mi |
| 2 Quinta | (⅔)² | 2¹ | 0,8889 | Si |
| 3 Quinta | (⅔)³ | 2¹ | 0,5926 | Fa# |
| 4 Quinta | (⅔)⁴ | 2² | 0,7901 | Do# |
| 5 Quinta | (⅔)⁵ | 2² | 0,5267 | Sol# |
| 6 Quinta | (⅔)⁶ | 2³ | 0,7023 | Re# |
| 7 Quinta | (⅔)⁷ | 2⁴ | 0,9364 | La# |
| 8 Quinta | (⅔)⁸ | 2⁴ | 0,6243 | Mi# = Fa |
| 9 Quinta | (⅔)⁹ | 2⁵ | 0,8324 | Do |
| 10 Quinta | (⅔)¹⁰ | 2⁵ | 0,5549 | Sol |
| 11 Quinta | (⅔)¹¹ | 2⁶ | 0,7399 | Re |
| 12 Quinta | (⅔)¹² | 2⁷ | 0,9865 ≈ 1 | La (2) |
Después de la tabla, podemos decir que al pulsar la cuerda en las posiciones siguientes: 1 [=] 0’9865, 0’9364, 0’8889, 0’8324, 0’7901, 0’7399, 0’7023, 0’6667, 0’6243, 0’5926, 0’5549, 0’5267 tenemos la escala cromática, es decir, aquella que pasa por todas las notas y alteraciones.
Este es el juego de Pitágoras para obtener las notas musicales basado en su interiorización de las buenas vibraciones. Así es como, ayudándose de las matemáticas, consiguió establecer las notas musicales. Debo decir que la diferencia de tono entre toda la cuerda y la 0’9865 de ella se distingue por el oído humano. Ello significa que se puede seguir obteniendo más notas, hasta alcanzar una mayor aproximación.
La idea de obtener más notas está bien, pero tiene el inconveniente de obtener demasiadas notas y algunas de ellas se diferencian tan poco que hacen difícil cantarlas. Así que nuestro sentido práctico nos dice que paremos y lo dejemos como está. La verdad es que tenemos una gran variedad de obras musicales que no dejan nada que desear.
Finalizando
Aquí, se ha expuesto lo que se entiende como afinación pitagórica. No obstante, en la actualidad se recurre a otra afinación, es decir, a otro proceso para obtener las notas musicales. Esta es la temperada y se basa en la división en partes iguales, para el oído, de la octava. Esta afinación prioriza el sentido práctico sobre el sentido bello de la quinta. De hecho, con la afinación temperada no tenemos quintas perfectas, pero tampoco hay ninguna quinta fea o del lobo.
Bueno, estamos entrando en materia y para un primer acercamiento al tema lo dicho hasta ahora es suficiente. Si quieres seguir profundizando las afinaciones te dejo este enlace… Como punto final, espero que este texto te sea útil como aplicación de las progresiones geométricas y para abrir el apetito en un tema que muchos creen que están totalmente apartados.
