Los sólidos platónicos en la Naturaleza son cinco, cinco formas perfectas que sus caras pueden ser triangulares, cuadradas o pentagonales. Fueron los griegos quienes demostraron que sólo habían cinco sólidos en la tercera dimensión, pero sólo tres son visibles para nosotros, ¿pero cómo lo demostraron?. Lo demostró Euclides de una manera muy ingeniosa.

Sabemos que cada ángulo de todo triángulo equilátero es 60º, cada ángulo del cuadrado es 90º y cada ángulo del pentágono es 108º. Cada sólido al ser tridimensional, de cada vértice salen tres aristas, así que el mínimo número de caras que corta cada vértices es 3, tenemos:

Con caras triangulares :

3 x 60º = 180º < 360º      Tetraedro

4 x 60º = 240º < 360º        Octaedro

5 x 60º = 300º < 360º        Icosaedro

Pero 6 x 60º = 360º así que no es posible un poliedro con 6 caras en cada vértice, ya que el ángulo debe ser estrictamente menor que 360º pues el poliedro es convexo.

Con caras cuadradas :

3 x 90º = 270º < 360º      Cubo

Con caras pentagonales:

3 x 108º = 324º < 360º      Dodecaedro

Y no es posible más combinaciones, ya que hay que recordar que los poliedros tienen que ser convexos. ¡Y dónde se encuentran en la Naturaleza?. Eso es lo fascinante, que sólo 3/5 sólidos son visibles.

Tenemos los cubos que en la Naturaleza son cristalizaciones minerales como la pirita, la halita, la galena y la sal común.

Con forma de octaedros en los minerales tenemos, de nuevo  la pirita la fluorita, y la espinela.

Y con formas de docecaedros tenemos la cristalización de la pirita. En realidad es una forma pentanododecaédrica (llamada pirotoédrica), ya que no son perfectas y las caras son pentágonos semiregulares, tiene cuatro pentágonos iguales y uno desigual.  Así que la pirita presenta tres formas geométricas, el cubo, el octaedro y el dodecaedro.

Pero nos faltan dos sólidos, el tetraedro y el icosaedro, ¿dónde están?, pues esto es lo fascinante, que no son visibles, el tetraedro son moléculas como el metano, la delcuarzo y el fósforo blanco. Y el icosaedro regular no es posible en cristalografía, a veces nos hemos engañado con falsas piritas que en apariencia son icosaédricas pero que en realidad son una hibridación entre octaedro y piritoedro (dodecaedro irregular). Así que los verdaderos icosaedros son virus con ADN como el virus del sida entre otros, los llamados adenovirus; esta configuración icosaédrica viene dadas porque una esfera triangulada en 20 caras es la mejor optimización de una esfera, y al ser sus partes idénticas pueden albergar complejidad, pero la mayor parte de los virus conocidos tienen más de 20 subunidades, aproximadamente 60, pero esas 60 subunidades pueden agruparse en un icosaedro.

Como conclusión tenemos estos 5 sólidos perfectos en la Naturaleza:

Qué son homeomorfismos de la esfera, y que son una de las superfícies modelo existentes en la Naturaleza. Y una idea del Mundo de las Ideas de Platón que tiene su equivalente natural. Vemos así como la geometría lo dibuja todo y que es por ella por la que entendemos las sombras que vemos en la Caverna de la alegoría de Platón.

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Si quieren saber más pueden leer el artículo original que escribí para el Boletín Matemático de la Universidad de Almería.

AQUí

Referencias

Euclides. Los elementos, 300 a.C.

Lasarte  Esteban, Tomás y Sanfeliu Montoliu, Teófilo. Cristalografía I para químicos. Teoría y prácticas. Publicaciones de la Universitat Jaume I, 1999.

Mascaró, Francisca. Conjunto Clásico de Dimensión Dos. Tema 4. “Geometría y Topología de Dimensiones Bajas”. Optativa de 3º de la Licenciatura de Ciencias Matemáticas. Universitat de València, 2007.

http://boletinmatematico.ual.es/Boletin/Boletines/Entradas/2011/4/29_Numero_3_del_volumen_IV_files/Vol4_3.pdf ISSN 1988-5318.

http://www.bohemianminerals.com/north-american-specimens.html

http://webs.um.es/matias/miwiki/doku.php?id=miscelanea

http://www.maph49.galeon.com/sida/335Structure.html

http://www.medciencia.com/primer-seguimiento-en-tiempo-real-del-desensamblaje-de-un-virus/

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