-A,5.

-Tocado.

-A,6.

-Tocado y hundido.

Tras escuchar esta conversación a todos nos viene a la cabeza el sencillo y exitoso juego de mesa de hundir barcos “Hundir la flota”. En el mismo, los contrincantes se comunican coordenadas del plano definiendo así un único punto sobre el mismo.

Una imagen es más que suficiente para entender cómo identificar puntos del plano mediante coordenadas (x,y):

Teniendo las coordenadas definidas mediante variables x e y, podemos definir relaciones entre las mismas. Así, si exigimos que la segunda coordenada sea y=x², entonces los puntos del plano que satisfacen esa relación (es decir, los puntos del plano del tipo (x,x²)) serán los siguientes:

También podemos representar los puntos del plano que satisfacen la ecuación x²+y²=4:

En este caso, nos basta el teorema de Pitágoras para deducir que los puntos del plano que satisfacen la ecuación x²+y²=r² son precisamente aquellos que forman una circunferencia de radio r centrada en el origen (es decir, centrada en el punto (0,0)).

Si en una ecuación entre coordenadas en lugar de “x” escribimos “x-k” (siendo “k” una constante positiva), entonces la imagen o gráfica correspondiente a la ecuación se mueve k unidades a la derecha (es decir, k unidades en el sentido positivo sobre el eje X), y es que observemos que tras ese cambio, el papel que antes jugaba en la ecuación el punto (0,0) ahora lo cumple el punto (k,0). Sucederá lo mismo si en lugar de jugar con “x” jugamos con “y”. Así, ahora ya sabemos cómo mover las gráficas del plano:

Bueno, después de haber entendido todo esto, no creo que haga falta demasiada fe para creerse que en tres dimensiones sucede lo mismo con las coordenadas (x,y,z).

Así, por ejemplo, los puntos del espacio que satisfacen la ecuación x²+y²+z²=r² (también podemos escribir x²+y²+z²-r²=0, por supuesto) son precisamente aquellos que forman una esfera de radio r centrada en el origen (es decir, en el punto (0,0,0)). O dicho de otra manera, los puntos (x,y,z) de una esfera de radio r centrada en el origen satisfacen la ecuación x²+y²+z²-r²=0.

O, partiendo de la ecuación que caracteriza a la circunferencia de radio r sobre el plano, se deduce que en tres dimensiones esa misma ecuación x²+y²-r²=0 representa el cilindro de radio r que se extiende a lo largo del eje Z.

Vamos a complicar ahora un poco la cosa…

Supongamos que tenemos dos objetos del espacio (Obj1 y Obj2), los cuales están representados por las ecuaciones Ec1=0 y Ec2=0, respectivamente. ¿Cómo podemos representar esos dos objetos a la vez? Es decir, ¿cuál es la ecuación que definirá a esos dos objetos a la vez?

Si tenemos dos objetos a la vez, obsérvese que cualquier punto del espacio perteciente a esos objetos deberá cumplir la ecuación Ec1=0 o Ec2=0. Si el punto se encuentra en Obj1, entonces sus coordenadas cumplirán que Ec1=0, mientras que si se encuentra en Obj2, entonces sus coordenadas cumplirán que Ec2=0. En consecuencia, esos puntos siempre cumplirán la ecuación Ec1*Ec2=0.

Es decir, la nueva ecuación Ec3=Ec1*Ec2=0 representa los puntos que pertenecen a alguno de los objetos en cuestión. Dicho de otra manera, los puntos (x,y,z) correspondientes a los objetos Obj1 o Obj2 satisfacen la ecuación Ec3=Ec1*Ec2=0. Y por último, nótese que si un punto del espacio satisface la ecuación Ec3=Ec1*Ec2=0, entonces ha de cumplir también la ecuación Ec1=0 o si no la ecuación Ec2=0.

Por tanto, ahora ya sabemos, entre otras cosas, cómo dibujar esferas y cilindros diferentes (de difentes radios y posiciones) mediante una sola ecuación:

Por ejemplo, (x²+y²-1²)*(y²+z²-1²)*((x-4)²+y²+z²-2²)*(x²+y²+(z+4)²-3²)=0

Supongamos ahora que tenemos dos objetos en el espacio (Obj1 y Obj2) representados mediante las ecuaciones Ec1=0 y Ec2=0, respectivamente. ¿Cómo podemos representar la intersección entre ambos objetos? Es decir, si ambos objetos se cortan, ¿cómo podemos representar los puntos pertecientes a ese corte? ¿Cuál es la ecuación que representa el corte o intersección entre ambos objetos?

Si un punto se encuentra en ambos objetos, entonces cumplirá las dos ecuaciones Ec1=0 y Ec2=0.

Por otra parte, la nueva ecuación que vayamos a construir sólo debe representar a aquellos puntos que satisfacen ambas ecuaciones, las dos. Dicho de otro modo, las soluciones de la ecuación que buscamos han de ser también soluciones de las ecuaciones Ec1=0 y Ec2=0.

Teniendo todo esto en cuenta, nos damos cuenta de que la ecuación que buscamos es la siguiente: Ec3=(Ec1)² + (Ec2)²=0

Así, por ejemplo, aquí mostramos la ecuación y la imagen correspondientes a la intersección entre dos cilindros perpendiculares de igual radio: (x²+y²-r²)²+(x²+z²-r²)²=0

 ZOMORRO:

((x+1)²-(y+1)³)*(a*(x+1)2-y-0.6)*((9*a*(x+1)²+(y+1)²+(z+5)²-9))*(9*a*(x+1)²+y²+(z+1)²-9)*(9*a*(x+1)²+y²+(z-3)²-9)*((2*(x+1)²+(y+1)²+(z-7)²-11))*((z-9)²+(y+1)²+(x+2)²-2)*(((x+1)²+y)²+((z-0.9*y-3)*(z-0.9*y+1)*(z-0.9*y+4))²-0.6)*((z-9)²+(y+1)²+x²-2)*((z-2-(x+1)²)²+(y+1)²-0.01)=0;  (siendo a=0.62)

ARAÑA:
((y²+5z)²+((y-0.5-z+(0.1)*d*x²))^2-0.02*a)*((y²+5z)²+((y-z+9*c*x²))²-a*0.1)*((x²+y²+15*z)²+((x+y)*(x-y))²-0.1a)*(2*x²+(y-1.4)²+3*(z-0.53)²-3.5)*(2*x²+2*y²+3*(z-0.3)²-1.4)*(2*x²+2*(y+1)²+3*(z-0.3)²-0.7)*(20*(x+0.34)²+(y+1.4)²+20*(z-0.2)²-0.8*a)*(20*(x-0.34)²+(y+1.4)²+20*(z-0.2)²-0.8*a)-b=0

(siendo c=-0.20, d=5.89, a=0.5, b=0.06)

FLORECIENDO EN MACETA:

(x²+y²+z²-1)*((x²+y²)³-2*a*x²*y²*((z-b*4)³+1))*(x²+y²-0.45z)*(x²+y²-0.0005)*(z+1)=0

PULPO:

(x³+y²+z²-a*25*x²)² +(y*z*(x-y)*(x-z))²-3*b=0; (siendo a=0.09, b=0.74)

Por último, pero no por ello menos importante, nótese que hemos empleado algunos parámetros (a,b,c,…) para representar las imágenes. Cambiando los valores de los mismos podemos variar la forma de las imágenes, creando una animación mediante fotogramas. Así, podemos cambiar la posición y ángulo de las patas y alas de nuestro insecto y, mediante los fotogramas correspondientes a los parámetros, simular su vuelo.