RESUMEN.
En el presente artículo se comparte un método simple para resolver triángulos mágicos de diferente orden. El autor basa su metodología en resolver una sencilla ecuación para encontrar los números que se deben situar en las esquinas del triángulo, con esto, se pretende reducir la complejidad en lo que respecta a la resolución de este tipo de pasatiempos de la matemática recreativa.
AUTOR
José de Jesús Camacho Medina
«Con seguridad, el mejor camino para despertar a un estudiante consiste en ofrecerle un intrigante juego,
puzzle, truco de mata, chiste, paradoja, pareado de naturaleza matemática o cualquiera de entre una veintena de cosas que los profesores aburridos tienden a evitar porque parecen frívolas »[ Martín Gardner (1914 – 2010) Divulgador Científico ]
INTRODUCCIÓN
Los triángulos mágicos son entidades que pertenecen al área de las matemáticas conocida como matemática recreativa. Ayala (2011) afirma, que la Matemática Recreativa es lo mismo que aprender matemáticas jugando, es decir, se trata de una forma didáctica en la que se utilizan recursos y medios educativos, para que el estudiante aprenda los conocimientos de la Matemática mediante el juego.
De entre los pasatiempos o juegos que se trabajan en la matemática recreativa tenemos al Sudoku, al cubo de rubik, los cuadrados mágicos y triángulos mágicos, el ajedrez, origami, tangram y muchos otros.También es justo hacer mención, de los personajes que contribuyeron a la divulgación de la matemática recreativa, entre ellos encontramos a: Martin Gardner, Sam Loyd, Yakov Perelman, Lucas, Golomb, Conway, Lewis Carroll, etc.
DEFINICIÓN DE TRIÁNGULO MÁGICO Y UN POCO DE SU HISTORIA
Un triángulo mágico, es un triángulo que se compone de casillas, donde se deben colocar números naturales sin repetición, de tal manera que la suma de cada lado sea el mismo número (Ritgram, 2021). Por otro lado, Camacho (2019) afirma, que un triángulo mágico es una figura o arreglo triangular, donde se deben escribir diferentes números naturales para que la suma en sus correspondientes lados sea constante, tal como se muestra en la figura I.
Figura I. «Ejemplo de un triángulo mágico de seis casillas donde la suma de cada lado es igual a doce»
Según (Heinz,2006), el Profesor de Matemáticas Terrel Trotter, Jr., de la ciudad de Illinois, Estados Unidos.Publica un artículo bajo el nombre: «Triángulos mágicos normales de orden n[1]». En 1974, publica un segundo artículo que lleva por título: «Perimeter-magic Polygons [2]», donde introduce el término polígono mágico perimetral y lo generaliza para incluir otras formas poligonales.
ORDEN DE UN TRIÁNGULO MÁGICO
El orden se refiere al número de casillas que tiene un triángulo mágico en uno de sus lados.No existen triángulos mágicos de orden uno y dos. En la figura II y III se observan ejemplos de triángulos mágicos de orden 3 y 4 respectivamente.
Figura II. «Ejemplo de un triángulo mágico de orden tres»
Figura III. «Ejemplo de un triángulo mágico de orden cuatro»
METODOLOGÍA PARA RESOLVER TRIÁNGULOS MÁGICOS
La presente metodología sirve para darle resolución a triángulos mágicos donde se colocan números naturales separados por una unidad de distancia, por ejemplo, cuando se colocan los números del uno al seis: 1, 2, 3, 4, 5, 6, cuando se colocan los números del uno al nueve: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, del uno al doce: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, etc.
PASO I. Resolver una ecuación para saber cual es la suma de los tres números que se ubican en las esquinas del triángulo mágico. La ecuación a resolver depende del orden del triángulo mágico.
Sean: a, b, c los números ubicados en las esquinas y S corresponde a lo que suma cada lado del triángulo mágico.
| ORDEN DEL TRIÁNGULO MÁGICO | ECUACIÓN A RESOLVER |
| 3 (tiene tres números por lado) | a + b + c = 3S – 21 |
| 4 (tiene cuatro números por lado) | a + b + c = 3S – 45 |
| 5 (tiene cinco números por lado) | a + b + c = 3S – 78 |
| 6 (tiene seis números por lado) | a + b + c = 3S – 120 |
| 7 (tiene siete números por lado) | a + b + c = 3S – 171 |
| 8 (tiene ocho números por lado) | a + b + c = 3S – 231 |
| 9 (tiene nueve números por lado) | a + b + c = 3S – 300 |
| 10 (tiene diez números por lado) | a + b + c = 3S – 378 |
| n | a + b + c = 3S – [ 3n(3n+1)/2] , para n > 10. |
Tabla I. «Ecuaciones para determinar la suma de las esquinas de un triángulo mágico de diferente orden»
PASO II. Una vez identificado cuanto suman los tres números de las esquinas del triángulo mágico, se buscan tres valores que arrojen dicha resultado de entre la lista de los números naturales que se han de colocar en las casillas, y estas cantidades, se instalan en las esquinas o vértices.
PASO III. Se procede a identificar cuanto falta para completar la suma en cada lado y así, las casillas vacías, se determinarán por medio del tanteo eligiendo los números que hagan falta. Se recomienda empezar por el lado al que le falte menos cantidad para completar la suma correspondiente.
ILUSTRACIÓN CON UN PAR DE EJEMPLOS:
EJEMPLO UNO. Encontrar un triángulo mágico de seis casillas (orden tres), que al colocar los números: 1, 2, 3, 4, 5 y 6, la suma de cada lado sea igual a 10.
PASO I. Resolver la siguiente ecuación tomada de la tabla 1, para determinar los números que se colocarán en las esquinas del triángulo mágico.
Como la suma de cada lado debe arrojar diez, entonces S = 10, por lo que sustituimos este valor en la ecuación.
PASO II. Buscar tres valores de la lista de números que sumados den el resultado de la ecuación, es decir, 9, y estos se colocan en la esquinas o vértices.
PASO III. Se procede a identificar cuanto falta para que la suma de cada lado sea 10, así, las casillas vacías se determinarán mediante el tanteo, eligiendo los números que hagan falta. En la base del triángulo faltan 2 unidades, en el lado izquierdo faltan 4 y finalmente en el lado derecho faltan 6, estos valores se colocan en tales casillas, y de esa manera se llega a la resolución del ejemplo.
EXPLICACIÓN MEDIANTE VÍDEO EDUCATIVO: https://www.youtube.com/watch?v=ntTwcbSubh8
EJEMPLO DOS. Encontrar un triángulo mágico de nueve casillas (orden cuatro), que al colocar los números: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, y 9, la suma de cada lado sea igual a 20.
PASO I. Resolver la siguiente ecuación tomada de la tabla 1, para determinar los números que se colocarán en las esquinas del triángulo mágico.
Como la suma de cada lado debe arrojar veinte, entonces S = 20, por lo que sustituimos este valor en la ecuación.
PASO II. Buscar tres valores de la lista de números que sumados den el resultado de la ecuación, es decir, 15, y estos se colocan en la esquinas o vértices.
PASO III. Se procede a identificar cuanto falta para que la suma de cada lado sea 20, así, las casillas vacías, se determinan mediante el tanteo, eligiendo los números que hagan falta. En la base del triángulo faltan 6 unidades, en el lado izquierdo faltan 10 y finalmente en el lado derecho faltan 14. Se procede a buscar dos números de la lista que cumplan con tales requisitos.
Para las dos casillas vacías de la base del triángulo, se ocupan dos números que sumados arrojen 6: 4 y 2.
Para las dos casillas del lado izquierdo del triángulo, se ocupan dos números que sumados arrojen 10: 7 y 3.
Finalmente,para las dos casillas del lado derecho del triángulo, se ocupan dos números que sumados arrojen 14: 6 y 8.
El Resultado final es:
EXPLICACIÓN MEDIANTE VÍDEO EDUCATIVO: https://www.youtube.com/watch?v=A92NZO2XFgI
¿POR QUÉ FUNCIONA EL MÉTODO?
La ecuación que se utiliza para determinar la suma de los números ubicados en las esquinas del triángulo mágico, parte del siguiente razonamiento matemático. Si tenemos un triángulo mágico de orden tres, y en donde colocaremos seis números naturales: a = 1 , b = 2, c = 3, d = 4, e = 5 , f = 6, siendo los números de las esquinas: a, b, c, y la suma de cada lado es S, entonces se deducen las siguientes ecuaciones:
a + e + b = S … (1)
b + d + c = S … (2)
a + f + c = S … (3)
Si sumamos las ecuaciones 1, 2 y 3 obtenemos:
2a + 2b + 2c + d + e + f = 3S … (4)
Como a = 1 , b = 2, c = 3, d = 4, e = 5 , f = 6, entonces: a + b + c + d + e + f = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6
Por lo tanto: a + b + c + d + e + f = 21 … (5)
Restamos la ecuación 5 de la ecuación 4, para obtener une nueva ecuación que será capaz de ofrecernos lo que arroja la suma de los números que se ubicarán en las esquinas del triángulo mágico.
a + b + c = 3S – 21
Este mismo principio lo llevamos para triángulos mágicos de diferente orden y así obtenemos las ecuaciones de la tabla I.
CONSTRUCCIÓN DE UN ENORME TRIÁNGULO MÁGICO
A continuación compartimos un triángulo mágico, al cual hemos llamado «El triángulo mágico más grande de la historia» y se ha construido gracias a los principios de la metodología expuesta en el presente artículo. El orden de este triángulo es nueve, y la suma de cada lado es igual a 102. Se han colocado los números: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23 y 24.
Figura IV. «Triángulo mágico gigante cuya suma de cada lado es igual a 102»
CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
- Se sugiere compartir la presente metodología en las aulas escolares.
- Al resolver una ecuación en una de las fases o pasos del método expuesto, se propicia a la práctica del conocimiento algebraico, por lo tanto, existe justificación para su divulgación y transmisión en el ámbito educativo.
- La matemática recreativa es un terreno fértil en cuanto a curiosidades matemáticas, es una rama del saber matemático que da paso a la reflexión y al desarrollo del pensamiento lógico mediante el juego, por lo tanto, se recomienda compartir nuevos métodos o técnicas para la resolución de los diversos conceptos de tal área.
- Se aconseja acrecentar el método expuesto, añadiendo los conocimientos necesarios para trabajar con secuencias de números que no estén precisamente en progresión aritmética con distancia de una unidad.
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
- [1] OEIS.org (2020). Enciclopedia en Línea de Secuencias Enteras. A130808 En Línea.Recuperado de: https://oeis.org/A130808
- [2] Ritgram (2021). Magic Triangles. En Línea. Recuperado de: https://aritgram.com/wp-content/uploads/2021/04/magic-triangles-with-boards.pdf
- [3] Masscience (2019). Triángulos Mágicos con Números Primos. En Línea. Recuperado de: https://www.masscience.com/2019/10/05/triangulos-magicos-con-numeros-primos/
- [4] Harvey Heinz (2006).Perimeter Magic Triangles. En Línea. Recuperado de: http://recmath.org/Magic%20Squares/perimeter.htm
- [5] Helber Ayala (2011). Matemática Recreativa. En Línea. Recuperado de: http://recursomatematico4.blogspot.com/2011/02/matematica-recreativa.html
- [6] Eva M. (2010). Frases Célebres: Martín Gardner. En Línea. Recuperado de: http://evamate.blogspot.com/2010/05/frases-celebres-martin-gardner.html
AUTOR DEL ARTÍCULO
José de Jesús Camacho Medina se graduó del Instituto Tecnológico Superior de Fresnillo a finales del año de 2007 como Ingeniero. En el año 2011 concluye sus estudios de Maestría en Matemática Educativa con línea de investigación en Matemática Aplicada. Es Profesor de Matemáticas a nivel Bachillerato y Superior, también es miembro investigador de la OEIS.org (Enciclopedia en Línea de Secuencias Enteras) realizando aportes desde el año 2013 en teoría de números y matemática recreativa, escribe artículos académicos y de divulgación científica.
pepe9mx@yahoo.com.mx
Abril de 2022
Fresnillo, Zacatecas, México
PARA CITAR ESTE ARTÍCULO
José de Jesús Camacho Medina (2022). Método simple para resolver triángulos mágicos [En línea]. Disponible en MasScience. Recuperado de: https://www.masscience.com/metodo-simple-para-resolver-triangulos-magicos/
