Método y fórmulas para aproximar a la longitud o perímetro de elipses e hiperelipses sin hacer uso del cálculo integral

Resumen

En el artículo que se presenta se explica cómo es posible obtener una aproximación de la longitud o perímetro de curvas cerradas como las elipses y las hiperelipses haciendo uso de construcciones geométricas que derivan por medio de un razonamiento, el uso de algunos teoremas y vía el álgebra y la aritmética en fórmulas que permiten obtener una  aproximación a la longitud de dichas curvas y que  al no hacer  uso del cálculo integral se logra que un estudiante no familiarizado con él pueda obtener de manera sencilla y cercana a la realidad la longitud o perímetro de elipses e hiperelipses.

Introducción

Es muy importante para el avance científico dentro de un área del conocimiento el contar con resultados previos dentro de dicha área, los cuales  sirvan de base para generar nuevos saberes. Isaac Newton (1643-1727) escribió al respecto en una carta a Robert Hooke, en la que hacía mención a sus predecesores Copérnico, Galileo y Kepler aludiendo a los hombros de sus gigantes. “Si he visto más lejos es porque estoy sentado sobre los hombros de gigantes”, en nuestro caso esto no es la excepción, el resultado de esta investigación se debe al uso de conocimientos ya establecidos en la geometría como  son: El teorema de Pitágoras, el Teorema de Poncelet, la teoría ya existente sobre la elipse y la hiperelipse, entre otros. 

A continuación explicaremos en qué consiste el método para conocer la longitud o perímetro de elipses e hiperelipses sin hacer uso del cálculo integral, llegando con él a obtener fórmulas que dan resultados  aproximados a la realidad y  en el caso límite en el que b= 0 da el valor exacto 4a.

Método para conocer la longitud de elipses e hiperelipses sin hacer uso del cálculo integral

Antes de entrar de lleno a exponer el método recordaremos lo que es una elipse, lo que es una hiperelipse,  el teorema de Pitágoras atribuido a Pitágoras de Samos (569-475 a.c) y el teorema de Poncelet (triángulo rectángulo) enunciado y demostrado por Jean-Victor Poncelet (1788-1867). 

La elipse es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano, tales que la suma de las distancias a otros dos puntos fijos, llamados focos, es constante. (Fuenlabrada, 1995, p.128)

Una elipse es una curva plana, simple​ y cerrada con dos ejes de simetría que son perpendiculares entre sí.

La elipse tiene diversas aplicaciones, es una curva muy importante, Johanes Kepler (1571-1630), demostró que las órbitas de los planetas son elipses y que el Sol está en uno de los focos de la elipse.

Una Hiperelipse, es una figura geométrica que en coordenadas cartesianas está descrita por la siguiente ecuación:

• Para n mayor que 2 tenemos hiperelipses. En el caso límite de n infinito tenemos un rectángulo. [7]

 

Teorema de Pitágoras

En todo triángulo rectángulo: «la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa» [6]

 

Teorema de Poncelet (triángulo rectángulo)

En todo triángulo rectángulo: «la suma de las longitudes de los catetos es igual a la longitud de la hipotenusa más el doble de la longitud del radio de la circunferencia inscrita al triángulo».

 

Demostración del Teorema de Poncelet

En la figura 3 se aprecia una circunferencia inscrita en un triángulo rectángulo, se han trazado los radios de longitud “r” los cuales son perpendiculares a cada uno de los lados del triángulo, se ha bisecado cada ángulo agudo del triángulo rectángulo, con cada una de las bisectrices y las rectas ya existentes se han obtenido dos triángulos que entre ellos tienen los tres lados iguales en longitud y los tres ángulos iguales.  

En la figura 3 se aprecia que 

a = x + r
b = y + r
c = x + y

Veamos quien es a+ b

a + b = (x + r) + (y + r) 

         = (x + y) + (r + r)

         =  c + 2r       Por lo que el teorema queda demostrado.

Una vez que hemos recordado lo que dicen estos teoremas, procederemos a explicar el  método para conocer la longitud de elipses e hiperelipses sin hacer uso del cálculo integral.

 

Veamos la siguiente figura:                   

En la figura 4,  «a»  es la medida de un cateto del triángulo rectángulo (QMQ´) y también es la longitud que tiene el semieje mayor de la elipse, mientras que «b» es la medida del otro cateto del triángulo rectángulo (QMQ´) y también es la longitud que tiene el semieje menor de la elipse, en el triángulo rectángulo (QMQ´) se cumplen tanto el teorema de Pitágoras, como el teorema de Poncelet, es decir:

c²=a²+b²

Y

a+b=c+2r

 

Una mala aproximación de la medida del arco que va de Q a Q´ se podría hacer con la longitud del segmento de recta que va de Q a Q´ c=√(a²+b²) , es obvio que el valor de “c” es menor que la longitud del arco que va de Q a Q´  pero aprovechando la relación que existe entre los elementos geométricos que intervienen, (ya que tanto  “a”, “b”, “c” y “r” están relacionados)  se puede hacer una posible aproximación al arco que va de Q a Q´ de la siguiente manera:

Al sustituir en el teorema de Poncelet  c=√(a²+b²)  ,  obtenemos:

a+b=c+2r

a+b=√(a²+b²)+2r

De donde:

a+b-√(a²+b²)=2r

Por lo que:

(a+b-√(a²+b²) ) / 2=r

Al intentar obtener una aproximación a la longitud del arco que va de Q a Q´ por medio de c + r, siempre se obtiene un valor que es mayor al de la longitud del arco buscado, sin embargo si en lugar de intentar aproximar a la longitud del arco que va de Q a Q´ por medio de c + r se hace por medio de c+r/2 se obtiene:

Siendo

una expresión que aproxima razonablemente a la longitud del arco que va de Q a Q´, y multiplicando dicha expresión por 4 se obtiene la fórmula para aproximar a la longitud o perímetro de una elipse. 

Fórmula para aproximar a la longitud o perímetro de una Elipse

P≈3√(a²+b²)+a+b       

Esta última expresión nos da una aproximación  del perímetro o longitud de una elipse cuyo semieje mayor es “a” y cuyo semieje menor es “b”.

En el caso límite en el que b = 0 la fórmula nos da el valor exacto P = 4a.

¿Qué tan buena resulta la fórmula obtenida?, toca al lector juzgar esto, para ello puede consultar la tabla 1 y la tabla 2 que se presentan más adelante en el artículo, además de obtener otros valores que se deseen.

Algo interesante de la expresión o fórmula que se obtuvo es el hecho de que a diferencia de las otras fórmulas de aproximación a la longitud o perímetro de una elipse, esta no utiliza el número de manera explícita para el cálculo de la aproximación.

A continuación presentamos algunas expresiones o formulas de aproximación al perímetro o longitud de una elipse que se han propuesto a través del tiempo:

En la siguiente tabla podemos ver la aproximación que dan las fórmulas anteriores al perímetro de diferentes elipses y la aproximación que da la fórmula propuesta en este artículo P≈3a2+b2+a+b, en comparación de lo que es el perímetro real de las elipses:

Tabla 1. Perímetro de elipses y aproximaciones

Valor del semieje mayor de la elipse “a”	Valor del semieje menor de la elipse “b”	Perímetro Real	Perímetro Fórmula propuesta (Fórmula de Rivera)	Perímetro  Fórmula  Ramanujan  (segunda)	Perímetro Fórmula de Euler	Perímetro  Fórmula  de Fagnano
25	6	106.774016	108.129760	106.7739805	114.226166	107.607563
24	7	104.860708	106	104.8606985	111.072073	105.364363
23	8	103.178648	104.054774	103.1786448	108.191269	103.469422
22	9	101.720344	102.309185	101.7203439	105.606121	101.877931
21	10	100.479884	100.778220	100.4798821	103.338821	100.558055
20	11	99.452588	99.476273	99.45258799	101.410688	99.48670902
19	12	98.634816	98.416615	98.63481571	99.841376	98.647049
18	13	98.023796	97.610809	98.02379447	98.648010	98.026931
17	14	97.617524	97.068146	97.61752486	97.844347	97.617927
16	15	97.414708	96.795136	97.41470933	97.440029	97.414714
777.5	34	3121.948	3146.2291	3121.747566	3457.642783	3313.317017
2999	3.5	11996.0624	11999.50613	11991.56721	13324.21501	13827.08412

 

En la siguiente tabla podemos ver los errores relativos  que dan las fórmulas anteriores.

Tabla 2. Errores relativos de las fórmulas de aproximación.

Valor del semieje mayor de la elipse “a”	Valor del semieje menor de la elipse “b”	Error Relativo Fórmula propuesta (Fórmula de Rivera)	Error Relativo  Fórmula  Ramanujan  (segunda)	Error Relativo Fórmula de Euler	Error  Relativo Fórmula  de Fagnano
25	6	0.01269732	0.000000332	0.069793665	0.007806646
24	7	0.010864813	0.00000009	0.059234436	0.004803086
23	8	0.008491349	0.000000031	0.04858196	0.00281816
22	9	0.005788822	0.000000000983	0.038200588	0.001549218
21	10	0.002969111	0.0000000189	0.028452829	0.000777976
20	11	0.000238153	0.0000000001	0.019688778	0.000343088
19	12	0.00221221	0.0000000029	0.012232597	0.000124023
18	13	0.00421313	0.0000000156	0.006367984	0.000031982
17	14	0.005627862	0.0000000088	0.002323588	0.000004128
16	15	0.006360148	0.0000000136	0.000259929	0.0000000615
777.5	34	0.007777547	0.000064201	0.107527346	0.061297951
2999	3.5	0.000287071	0.000374722	0.110715713	0.152635228

 

Las tablas anteriores muestran información en la que puede apreciarse como es la  aproximación que se obtiene al valor real del perímetro de cada elipse al hacer uso de cada una de las fórmulas presentadas, además al observar la expresión de cada fórmula (mostradas previamente a las tablas) se puede establecer con cuál de ellas poder trabajar en caso de requerirlo, en este punto habrá que tener en cuenta la precisión que se desee y la facilidad de cálculo que ofrezca cada una.

Ahora abordaremos el hecho de tratar de aproximar a lo que es la longitud o perímetro de una hiperelipse.

Recordemos algo ya mencionado:

Una Hiperelipse, es una figura geométrica que en coordenadas cartesianas está descrita por la siguiente ecuación:

 

• trabajaremos con hiperelipses en los casos en que  n es par y n es mayor que 2.  En el caso límite de n infinito tenemos un rectángulo.

A continuación  obtendremos una fórmula que nos permita aproximar a la longitud  o perímetro de una hiperelipse, que como ya mencionamos está descrita por una ecuación de la forma:

Con n par y n >2

La siguiente gráfica nos muestra un ejemplo de una hiperelipse, sobre la que se ha puesto una construcción geométrica (un triángulo rectángulo y una circunferencia inscrita en él).

En la figura 5,  «a»  es la medida de un cateto del triángulo rectángulo (QMQ´) y al mismo tiempo es el valor de la longitud del semieje mayor de la hiperelipse, mientras que «b» es la medida del otro cateto del triángulo rectángulo (QMQ´) y al mismo tiempo es el valor de la longitud del semieje menor de la hiperelipse)

En el triángulo rectángulo (QMQ´), se cumple el teorema de Pitágoras y el teorema de Poncelet.  

Esto es:

c²=a²+b²

Y

a+b=c+2r

Dado que  c= √(a²+b²)

Y   2r = diámetro de la circunferencia inscrita en el triángulo (QMQ´)

El diámetro de la circunferencia inscrita al triángulo rectángulo (QMQ´) es: 

diámetro=a+b-√(a²+b²)

Consideremos el caso en el que tenemos hiperelipses con n= 4 en la ecuación, observando la figura 5 se aprecia que la longitud (a+b) sería  mayor a la longitud del arco que va de Q a Q´,  restaremos a la longitud  a+b, la mitad del valor del diámetro de la circunferencia inscrita en el triángulo rectángulo (QMQ´), al hacer esto se obtiene una expresión que aproxima a la longitud del arco que va de Q a Q´

 

Para el caso en el que tenemos hiperelipses con n= 6 en la ecuación, el arco que va de Q a Q´en la hiperelipse se debe de ir aproximando en longitud más al valor (a+b) que cuando n= 4, por lo que a la longitud (a+b) se le debe quitar una cantidad más pequeña que la que se le quitó en el caso n= 4 (que fue la mitad del diámetro de la circunferencia inscrita al triángulo rectángulo (QMQ´)), por ello se le quitará cuando n= 6  un tercio de la longitud del diámetro de la circunferencia inscrita al triángulo rectángulo (QMQ´).

Si se resta a la longitud  a+b la tercera parte del valor de la longitud del diámetro de la circunferencia inscrita en el triángulo rectángulo (QMQ´), se obtiene la expresión que aproxima a la longitud del arco que va de Q a Q´:

Cuando n= 8 en la ecuación de la hiperelipse, el arco que va de Q a Q´ se aproxima más al valor (a+b) que en el caso anterior en el que n= 6, por lo que debe quitársele al valor de la longitud (a+b) una cantidad más pequeña que la que se le quitó en el caso n= 6 (que fue la tercera parte del diámetro de la circunferencia inscrita al triángulo rectángulo (QMQ´)).

Por lo que ahora se le resta a la longitud  a+b la cuarta parte del valor del diámetro de la circunferencia inscrita en el triángulo rectángulo (QMQ´).

De esta manera se obtiene la expresión que aproxima a la longitud del arco que va de Q a Q´:

Cuando n= 10 en la ecuación de la hiperelipse, el arco que va de Q a Q´ se aproxima más al valor (a+b) que en el caso anterior en el que n= 8, por lo que debe quitársele al valor de la longitud (a+b) una cantidad más pequeña que la que se le quitó en el caso n= 8 (que fue la cuarta parte del diámetro de la circunferencia inscrita al triángulo rectángulo (QMQ´)).

Por lo que se le resta a la longitud  a+b la quinta parte del valor del diámetro de la circunferencia inscrita en el triángulo rectángulo (QMQ´), así se obtiene la expresión que aproxima a la longitud del arco que va de Q a Q´:

 y así sucesivamente restando a la longitud a+b,  2/n  de la longitud del diámetro de la circunferencia inscrita en el triángulo rectángulo (QMQ´),  dependiendo del valor que tome n  (n par y n > 2). Llegamos con este procedimiento a la expresión general para un valor de “n” para aproximar a la longitud del arco que va de

la cual al ser multiplicada por 4 nos da la fórmula para aproximar a la longitud o perímetro de cualquier hiperelipse (con n par y n >2).

Fórmula que aproxima a la longitud o perímetro de una hiperelipse:

 

 

En el caso límite cuando b= 0 el valor exacto de P=4a.

 

Un ejemplo de cómo la fórmula anterior calcula una aproximación del perímetro o longitud de la hiperelipse sería el siguiente:

-Calcular por medio de la fórmula una aproximación a la longitud o perímetro de la hiperelipse:

En la hiperelipse anterior  a=6,  b=2  y  n=4 

 

 

Mientras que el valor real obtenido con el cálculo integral da 28.86 unidades 

 

A continuación mostramos algunos ejemplos que nos permiten apreciar la precisión de la fórmula propuesta:

1. Para x⁴/ a⁴ +  y⁴ / b⁴= 1

Si a=11  y  b=1

Perímetro real= 45.74

Perímetro con la fórmula propuesta≈ 46.09

Si a=5  y  b=3

Perímetro real= 28.26

Perímetro con la fórmula propuesta≈ 27.66

 

2. Para x⁶ / a⁶ +  y⁶ / b⁶ =1

Si a=5  y  b=2

Perímetro real= 25.94

Perímetro con la fórmula propuesta≈ 25.84

Si a=20  y  b=9.5

Perímetro real= 108.90

Perímetro con la fórmula propuesta≈ 108.18

3. Para x⁸ / a⁸ +  y⁸ / b⁸ =1

Si a=14  y  b=5

Perímetro real= 71.88

Perímetro con la fórmula propuesta≈ 71.86

Si a=4  y  b=1

Perímetro real= 19.06

Perímetro con la fórmula propuesta≈ 19.12

 

4. Para x¹⁰ / a¹⁰ +  y¹⁰ / b¹⁰ =1

Si a=2  y  b=0.5

Perímetro real= 9.61

Perímetro con la fórmula propuesta≈ 9.64

           Si a=5  y  b=3

Perímetro real= 30.38

Perímetro con la fórmula propuesta≈ 30.26

 

5. Para x¹² / a¹² +  y¹² / b¹² =1

Si a=5  y  b=0.8

Perímetro real= 22.60

Perímetro con la fórmula propuesta≈ 22.70

6. Para x¹⁴ / a¹⁴ +  y¹⁴ / b¹⁴ =1

Si a=3  y  b=0.5

Perímetro real= 13.68

Perímetro con la fórmula propuesta≈ 13.73

Comentarios finales

En el artículo se ha mostrado como mediante las construcciones geométricas propuestas en las figuras 4 y 5 haciendo uso del teorema de Pitágoras, del teorema de Poncelet, el álgebra, la aritmética y vía un razonamiento que entrelazo las partes, se obtuvieron unas expresiones o fórmulas que permiten aproximar al perímetro o longitud de una elipse o de una hiperelipse sin necesidad de hacer uso del cálculo integral, estas fórmulas serán de utilidad para conocer valores aproximados a los valores reales sin las dificultades que implica el hacer uso de integrales, sobre todo en estudiantes que todavía no hayan tenido acercamientos con el cálculo integral.

Bibliografía.

[1] Apostol, Tom M.; Mnatsakanian, Mamikon A. (2012), New Horizons in Geometry, The Dolciani Mathematical Expositions #47, The Mathematical Association of America, p. 251, ISBN 978-0-88385-354-2.

[2] Burton, David M. (2011), The History of Mathematics / An Introduction (7th edición), McGraw Hill, ISBN 978-0-07-338315-6.

[3] Fuenlabrada, Samuel. (1995), Geometría Analítica (1ª edición), McGraw Hill, ISBN 970-10-0478-33-7.

[4] Jameson, GJO (2014). «Desigualdades para el perímetro de una elipse». Gaceta matemática. 98 (542): 227–234. doi : 10.1017 / S002555720000125X.

[5] Joven, Cynthia Y. (2010). «Capítulo 9». Precálculo. John Wiley e hijos. pag. 831. ISBN 978-0-471-75684-2.

[6] Pinasco, Juan P; Amster, Pablo; Saintier, Nicolas; Laplagne, Santiago  (2009), Instituto Nacional de Educación Tecnológica, Buenos Aires. ISBN 978-950-00-0724-5.

[7] Sokolov, DD (2001),  Enciclopedia de Matemáticas, European Mathematical Society Press. 

[8]   FAGNANO Giulio Carlo, http://serge.mehl.free.fr/chrono/Fagnano.html

[9]  Euler’s formula and the naive formula http://www.numericana.com/answer/ellipse.htm#euler

[10]  Ramanujan (I) & Lindner http://www.numericana.com/answer/ellipse.htm#ramanju-1

[11]  Ramanujan (II)  http://www.numericana.com/answer/ellipse.htm#ramanju-2