RESUMEN.
En el presente artículo el autor da cuenta de una curiosidad matemática descubierta por él mismo en el mes de marzo del año 2016.La curiosidad matemática relaciona al número nueve y a partir de ella se obtiene un interesante teorema para la posteridad.
AUTOR
José de Jesús Camacho Medina
«Un matemático es una máquina que convierte café en teoremas»
Paul Erdos (1913 – 1996) Matemático
Húngaro
INTRODUCCIÓN
En el mundo de las números abundan las curiosidades matemáticas, y éstas, suelen ofrecerse a los que estudian y profundizan estos conceptos con las banderas de la pasión y la perseverancia. En el mes de marzo del año 2016, un servidor encuentra una curiosidad matemática que relaciona al número nueve, y en base a ella emerge una conjetura que a los pocos días se convirtió en un teorema.
LA CURIOSIDAD MATEMÁTICA
La curiosidad matemática consta de los siguientes pasos:
- Seleccionar dos números naturales NA y NB (Los Números seleccionados no deben ser iguales)
- Concatenar los dos números seleccionados de dos formas distintas: NANB y NBNA para así obtener dos números (Hay que recordar que la concatenación es la acción de encadenar ideas, números o códigos, por ejemplo: concatenar el número 12 con el 190 produce al número 12190)
- Realizar una resta de las concatenaciones del paso dos partiendo del hecho que el número mayor se le resta el menor esto significa, puedes aplicar el valor absoluto: ∣ NANB – NBNA ∣ o también puede ser: ∣ NBNA – NANB ∣ (esta resta no debe de arrojar cero).
- Cuando realizas la resta del paso tres, la curiosidad es el hecho de que siempre se obtendrá un número múltiplo de 9 (Conjetura).
EJEMPLOS
A)
- Elegimos los números 11 y 3.
- Al concatenar los números del paso uno obtenemos 113 y 311
- Restamos los valores del paso dos partiendo del hecho de que al mayor número se le resta el menor: 311-113 = 198
- Comprobamos que el resultado obtenido 198, es múltiplo de 9.Observe que 198/9 = 22.
B)
- Elegimos los números 9 y 2.
- Al concatenar los números del paso uno obtenemos 92 y 29
- Restamos los valores del paso dos partiendo del hecho de que al mayor número se le resta el menor: 92-29 = 63
- Comprobamos que el resultado obtenido 63, es múltiplo de 9. Observe que 63/9 = 7.
LA CONJETURA INDICA QUE SIEMPRE SE OBTENDRÁ UN NÚMERO DIVISIBLE POR NUEVE TRAS APLICAR LOS PASOS DEL PROCESO ANTES DESCRITO.
El siguiente paso era demostrar que esta afirmación era verdadera para cualquier pareja de números naturales con las condiciones de que no fueran iguales y que la resta no arroje cero.
En la figura I se aprecia la curiosidad matemática que al principio se creía aplicable solo Números Primos y que más adelante se demuestra para valida en general para los Números Naturales.
Figura I. Imagen de la curiosidad matemática que al principio se creía válida únicamente para Números Primos.
DEMOSTRACIÓN
Definición 1.
La fórmula de la concatenación (∣∣) de los números p y q en base b es:
p ∣∣ q = p b l(q)
Donde l(q) representa la longitud del número q y se calcula mediante la fórmula:
l(q) = Floor(Logb q) +1
Sea n el orden de magnitud del Número NA y m el orden de magnitud del Número NB
El proceso de concatenación para los casos NANB y NBNA y en base a la definición 1.
NANB = 10m NA+NB
NBNA = 10n NB+NA
Usamos el valor absoluto al restar NANB y NBNA
∣ NANB – NBNA ∣ = ∣ (10m NA+ NB) – (10n NB + NA) ∣
= ∣ (10m NA – NA) – (10n NB + NB) ∣
= ∣ NA (10m – 1) – NB (10n – 1) ∣ ___________(1)
Los Números (10m – 1) y (10n – 1) son:
10n – 1 = 919293…..9n = 9*(111213…1n) _____(2)
10m – 1 = 919293…..9m = 9*(111213…1m) _____(3)
Sustituimos 2 y 3 en 1:
∣ NA* 9(111213…1m) – NB* 9(111213…1n) ∣
Sacamos factor común de la expresión anterior y comprobamos que la resta de las concatenaciones es un múltiplo de 9:
∣ NANB – NBNA ∣ = 9 * ∣ NA (111213…1m) – NB (111213…1n) ∣
Q.E.D.
CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
- Se sugiere compartir esta curiosidad matemática en las aulas escolares como práctica sana de las matemáticas.
- Es importante que se busque la demostración de curiosidades matemáticas similares con el fin de acrecentar nuestro acervo en el campo de la teoría de números.
- La matemática recreativa es un terreno fértil en cuanto a curiosidades matemáticas se refiere, por lo tanto se recomienda rescatar de las sombras a tantas rarezas o expresiones desconocidas.
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
[1] Matemático Fresnillense(2016).Curiosidad Matemática Sobre El Número 9.En Línea.Recuperado de:https://matematicofresnillense.blogspot.com/2016/03/curiosidad-matematica-sobre-el-numero-9.html
[2] Wolfram Math World (2020). Concatenation. En Línea.Recuperado de: https://mathworld.wolfram.com/Concatenation.html
AUTOR DEL ARTÍCULO
José de Jesús Camacho Medina se graduó del Instituto Tecnológico Superior de Fresnillo a finales del año de 2007 como Ingeniero. En el año 2011 concluye sus estudios de Maestría en Matemática Educativa con línea de investigación en Matemática Aplicada. Es Profesor de Matemáticas a nivel Bachillerato y Superior, también es miembro investigador de la OEIS.org (Enciclopedia en Línea de Secuencias Enteras) realizando aportes desde el año 2013 en teoría de números y matemática recreativa, escribe artículos académicos y de divulgación científica.
pepe9mx@yahoo.com.mx
Junio de 2020
Fresnillo, Zacatecas, México
PARA CITAR ESTE ARTÍCULO
José de Jesús Camacho Medina (2020). [En línea]. Disponible en MasScience. Recuperado de : https://www.masscience.com/no-es-magia-es-ciencia-una-curiosidad-matematica-de-la-cual-emergio-un-teorema/
