Está muy extendida la creencia de que en matemáticas está todo demostrado. Esta simple afirmación la hemos escuchado todos los que tenemos relación con esta materia en más de una ocasión, es incluso posible que el lector de este artículo tenga esta misma creencia,  si es así, siento decepcionarte ya que en matemáticas hay investigación. Y ya no solo casos concretos para empresas donde, por ejemplo, hay que optimizar una producción, sino que hay cantidad de problemas abiertos, es decir, sin resolver, y es ahí donde radica la belleza de esta ciencia, ya que las matemáticas avanzan gracias a la resolución de problemas. Y para saciar la duda de todos aquellos que la tengáis o ayudar a los que tenemos que lidiar con esta pregunta he decidido nombrar diez problemas más o menos famosos que a día de hoy siguen sin tener solución:

1.- Conjetura de Pollock de los números tetraédricos. Quiero que os imaginéis un tetraedro hecho por bolas como el de la imagen. Ahora contad las bolas. Eso es un número tetraédrico. Por ejemplo lo son el 1, 4, 10, 20… Pues esta conjetura dice que cualquier número natural se puede poner como la suma, como mucho, de cinco números tetraédricos. Por ejemplo, 27= 20+4+1+1+1, cinco, justo. Se conjeturó en 1850 y todavía no se ha demostrado.

2.- En una caja de zapatos queremos meter una varilla de hierro. Donde hay más espacio es en la diagonal que cruza la caja. ¿Existe alguna caja de zapatos y alguna varilla de manera que lo que miden los lados de la caja y la vara sean números enteros? Por el teorema de Pitágoras sabemos que si a, b y c son los lados de la caja y g es la longitud de la varilla buscamos una solución a la ecuación  a² + b² + c² = g²,  pero que los cuatro números sean enteros. Gracias a los ordenadores sabemos que si existe, el lado más pequeño debe ser más grande que diez mil millones. Así que dejad de mirar por casa.

3.- Un número racional es aquél que puede ponerse como una fracción de números enteros, al contrario que los irracionales. Un número algebraico es aquel que es solución de una ecuación con coeficientes enteros, al contrario que los trascendentes. Por ejemplo, el número de oro, que da lugar a la conocida proporción áurea, φ = 1.6180339887… es irracional y algebraico puesto que es la solución de x²-x-1=0. Todos conocemos a los famosos números π o e. Bien, pues hoy en día no se sabe si π + e, π – e, π · e ó π/e son irracionales, racionales, algebraicos o trascendentes.

4.- La conjetura del corredor solitario. Tenemos un circuito circular, y unos cuantos corredores.¿Cuántos? Los que quieras, digamos que hay un cierto número k. Cada corredor corre a una velocidad distinta al resto y decimos que se queda solo si está a una distancia mayor de 1/k del resto de corredores. ¿Llegará algún momento (aunque sea distinto para cada corredor y luego se junten) en el que todos se hayan quedado solos alguna vez? Lo último que sabemos es que así es hasta cuando tenemos 8 corredores (se demostró en 2007 y por dos españoles, por cierto). Para más runners, no se conoce la solución al problema.

Caso concreto para 6 corredores. En amarillo cuando se quedan solos.

5.- Después de correr, volvemos a casa descansar un rato en el sofá. Pero en vez de hacerlo en el comedor lo queremos hacer en el cuarto, para ello tenemos que cruzar un pasillo en forma de L. Supongamos, para simplificar, que cada lado de la L del pasillo tiene de lado 1 y que además estamos en dos dimensiones, es decir, como si lo mirásemos desde arriba. ¿Cuál es el área máxima que puede tener ese sofá visto desde arriba para que nos quepa por el pasillo? Este es el problema del sofá.

Ejemplo de un sofá pasando por un pasillo de lado 1 (visto desde arriba). El problema es que no es el de área máxima, podemos conseguir otro más grande.

6.-  Llamamos número perfecto a aquel que es suma de sus divisores propios (sin contarse a sí mismo). Por ejemplo, los divisores propios de 6 son 1, 2 y 3, y como 1+2+3=6, es un número perfecto. Lo mismo con 28=1+2+4+7+14. ¿Hay números perfectos impares? Hasta el momento no se sabe la respuesta.

7.-  Venga va, una de números primos. Hay cierto números primos, que solo se separan en dos unidades del primo anterior. Por ejemplo, el 3 y el 5, el 17 y el 19 o el 1091 y el 1093. ¿Hay infinitos? De nuevo, tampoco se sabe.

8.- Un cuadrado mágico es una matriz de números enteros en la que las filas, columnas, y las diagonales principal y secundaria suman lo mismo. Si es 3×3 se dice que es de orden 3, si es 4×4 de orden 4, etc. Sabemos que, sin contar rotaciones y simetrías, de orden 3 sólo hay un cuadrado mágico. De orden 4 hay 880 y de orden 5 hay 275 305 224 (arrea). Dependiendo del orden del que sea… ¿cuántos hay en general? De momento nadie ha dado con la respuesta, pero si tienes tiempo y paciencia quizás acabes por resolver el problema.

Cuadrado mágico de orden cuatro que se encuentra esculpido en la Sagrada Familia (Barcelona)

9.- No podía dejar sin mencionar el problema de P vs NP, aunque ya deberías conocerlo… ¿o es que no te has leído lo que escribí sobre el tema? 😉

10.- El problema del final feliz (ideal para acabar la entrada). Un polígono convexo es aquel en el que la linea recta que une cualquier par de puntos interiores se queda también en el interior del polígono. Por ejemplo, una estrella no es convexa porque si cogemos las puntas y las unimos, la linea se sale del polígono. Sabiendo esto, el problema básico es: teniendo 5 puntos puestos donde queramos, ¿siempre vamos a poder unir 4 de manera que creemos un cuadrilatero convexo? Bien, pues la respuesta es sí. Generalicemos, que esto a los matemáticos gusta mucho (y mirémoslo desde otro punto de vista). Si queremos construir un polígono convexo de cierto número de vértices… ¿cuántos vértices como poco (distribuidos de cualquier forma) necesitaremos? Por ejemplo, para construir un pentágono necesitamos mínimo 9, porque hemos encontrado una distribución de 8 puntos (la de abajo) en la que es imposible construir un pentágono convexo.

Ah, y como dato curioso, el nombre de este problema (formulado por Paul Erdös) se debe a que condujo al matrimonio entre George Szekeres y Esther Klein. ¡Y luego dirán que las matemáticas no son bonitas! :’)

Pd: Si tienes alguna duda, quieres comentar o matizar algo, por favor, no dudes en dejar un comentario, mandarme un e-mail (scirescience@gmail.com) o contactar conmigo por Twitter o por mi blog personal (Scire Science). ¡Gracias por leerme!

Pd2: ‘Esta entrada participa en la Edición 6.7: El punto del Carnaval de Matemáticas, alojado en el blog Matifutbol