Uno de los conceptos matemáticos más utilizados en la ciencia y en las ingenierías es el de la función. Este pequeño artículo tiene como meta explorar algunas de las ideas básicas que se requieren para entender lo que es una función, sin profundizar en los detalles matemáticos.
Un ejemplo navideño
Para entender de forma simple lo que es una función, pensemos en la siguiente analogía. Todos los años en Navidad, una cierta familia, conformada por 20 adultos y 10 niños, se reúne para organizar una entrega de regalos, de los adultos a los niños. El año pasado, cada uno de los adultos se presentó con un regalo distinto, con lo cual a cada niño le tocaron 2 regalos. Dicho de un modo más técnico, dos obsequios distintos fueron asignados a un único niño (ver Figura 1a). Este año, la economía no pintó nada bien por lo cual ahora solo la mitad de los adultos se presentó con un regalo distinto, por lo que a cada niño le tocó un regalo; en otras palabras, cada regalo fue asignado a un único niño (ver Figura 1b). Para el próximo año, se estima que todos deberán ahorrar, por lo que se está organizando que solo se presenten 5 obsequios que deberán ser compartidos por una pareja de niños. De este modo, cada regalo será asignado a dos niños (ver Figura 1c).
Figura 1. Asignación de los elementos (regalos de Navidad) del dominio (en azul) a los elementos (niños) del codominio (en amarillo) para cada caso: a) dos regalos diferentes son dados a un solo niño, b) un único regalo es dado a un único niño y c) un único regalo es ofrecido a dos niños diferentes.
Regla de correspondencia
En estos tres ejemplos, se han tenido dos grupos de elementos: uno es el de los regalos y el otro es el de los niños. En cada año, debido al número al número de regalos presentados por los adultos, se ha debido modificar el cómo se reparten los obsequios a los niños, esto es, se han tenido reglas de correspondencia [1, 2] que indican cómo se deben relacionar los elementos del grupo (o conjunto) de los regalos con los elementos del grupo (o conjunto) de los niños. Lo anterior, es la esencia de lo que más adelante llamaremos función: una regla o norma que se ha de seguir para vincular a los elementos de dos conjuntos: el primer conjunto se denomina dominio (los regalos) y el segundo conjunto, contradominio (los niños). En la vida cotidiana, tenemos otros ejemplos de asignaciones entre los elementos de dos conjuntos. Por ejemplo: al asignar un número de placa a cada auto en una ciudad, al designar una calificación (del 0 al 10) a cada estudiante de un grupo, al establecer el sueldo mensual (por horas) de un trabajador en una empresa o industria, etc. [1, 2]
La idea de la regla de correspondencia se puede usar, evidentemente, para relacionar conjuntos de números, lo cual conlleva a imponer ciertas condiciones a los números con los que se puede trabajar en el dominio [3, 4]. Por ejemplo, consideremos una regla de correspondencia o norma que relaciona a cada número del dominio {1, 2, 3, 4, 5} con su correspondiente cuadrado, es decir, con un elemento del contradominio {1, 4, 9, 16, 25}. Matemáticamente, se suele designar por x a cualquiera de los elementos en el dominio (es decir, x es una variable que puede tomar cualquier valor de los elementos en el dominio, uno a la vez), mientras que con y se representa a cualquier elemento del contradominio. Entonces, la regla de correspondencia se puede representar como y = x2, donde el número 2 funciona como exponente e indica que el número x se debe multiplicar por sí mismo dos veces. Por ejemplo, si x = 3, y = 32 = 3×3 = 9; es decir, el número x = 3 en el dominio se estará relacionado con el número y = 9 en el contradominio (ver Figura 2a). Otro ejemplo surge si consideramos la regla de correspondencia que relaciona a cada número del dominio {2, 4, 6, 8, 10} con su correspondiente mitad. Matemáticamente, si ahora x representa a cualquier número del conjunto anterior, entonces los elementos del contradominio se representarán como y = x/2, con lo cual los elementos en tal conjunto son {1, 2, 3, 4, 5} (ver Figura 2b).
Figura 2. Representación gráfica de la regla de correspondencia a) que relaciona a un elemento x del dominio (en naranja) con un único elemento y = x2 del contradominio (en azul) y b) que relaciona a un elemento x del dominio (en verde) con un único elemento y = x/2 del contradominio (en amarillo).
Función en matemáticas
Los casos anteriores son ejemplos de lo que es una función en matemáticas: es una regla de correspondencia entre dos conjuntos (dominio y contradominio) de tal manera que a cada elemento del dominio le corresponde uno y sólo un elemento del contradominio. Ahora bien, dado que los números se pueden ubicar en una línea recta (de forma similar a lo que se tiene en una regla de madera), se puede construir una retícula en la que se puedan representar al mismo tiempo los conjuntos dominio y contradominio. Dicha retícula se llama plano cartesiano. En el eje horizontal (llamado eje de las abscisas) se ubican los elementos del dominio, mientras que en el eje vertical (llamado eje de las ordenadas) se localizan los elementos del contradominio. De esta manera, se tiene el llamado par ordenado (x,y), el cual representa a un elemento x del dominio con su correspondiente elemento y en el contradominio. Por ejemplo, en el caso de los conjuntos {1, 2, 3, 4, 5} y {1, 4, 9, 16, 25}, los pares ordenados que se forman son {(1,1), (2,4), (3,9), (4,16), (5,25)}, mientras que con los conjuntos {2, 4, 6, 8, 10} y {1, 2, 3, 4, 5}, se tienen los pares ordenados {(2,1), (4,2), (6,3), (8,4), (10,5)}. Si los pares ordenados se representan en el plano cartesiano y se unen todos, se obtiene la gráfica de la función [1, 2, 3, 4] (ver Figura 3).
Figura 3. Gráfica de la función a) que relaciona a un elemento x del dominio con un único elemento y = x2 del contradominio y b) que relaciona a un elemento x del dominio con un único elemento y = x/2 del contradominio.
En resumen, una función es una herramienta de cálculo que permite relacionar conjuntos de números. Una función opera como una máquina que toma como materia prima los elementos del dominio, opera con ellos (mediante sumas, restas, multiplicaciones, potencias, divisiones, potenciación, etc.) para obtener un nuevo número que será elemento del contradominio. Tal máquina de cálculo se puede describir a través de pares ordenados (x, y) en un plano cartesiano. La unión de todos los puntos (x, y) da lugar a la gráfica o representación gráfica de la función.
Referencias
[1] J. Stewart, L. Redlin y S. Watson, Precálculo. Matemáticas para el cálculo, México: Cengage Learning, 2012.
[2] J. R. Franco Brañas, Introducción Al Cálculo. Problemas y Ejercicios Resueltos, Madrid: Pearson Educación, 2003.
[3] J. Stewart, Cálculo de una variable: Trascendentes tempranas, Sexta edición, México: Cengage Learning, 2008.
[4] J. G. B. Thomas, Cálculo. Una variable. Undécima edición, México: Pearson Education, 2006.
