Relación De Un Triángulo Equilátero Con La Aproximación de Hardy – Ramanujan Para El Número De Particiones De Un Entero

RESUMEN.

En el presente artículo se describe una peculiar relación entre un triángulo equilátero y la fórmula asintótica para el número de particiones de un entero de Hardy- Ramanujan. Como consecuencia se descubre una constante que relaciona al área y perímetro de un triángulo equilátero de lado unitario.

AUTOR

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José de Jesús Camacho Medina

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«Las ideas de los matemáticos, como las de los pintores o los poetas, deben ser bellas. La belleza es el primer requisito, no hay lugar permanente en el mundo para unas matemáticas feas.»

Godfrey Harold Hardy (1877 – 1947) Matemático británico

Introducción

El método del círculo es una valiosa herramienta para los matemáticos que permite estudiar problemas aditivos de la teoría de números. Según Chamizo (2006), el nacimiento de esta técnica se remonta a 1918 cuando Hardy y Ramanujan la introdujeron en un famoso artículo para estudiar a las particiones de un número entero. Es Hardy y Ramanujan quienes a partir del método del círculo, logran obtener una fórmula asintótica para el número de particiones que se considera como exacta si se admiten series infinitas.

En el presente artículo, se describirá una interesante relación entre la razón del área al perímetro de un triángulo equilátero de lado unitario, con la fórmula asintótica de Hardy – Ramanujan para el número de particiones de un entero.

Un Poco de Historia Sobre Hardy y Ramanujan

Según López (2014) [8], Srinivasa Ramanujan nació cerca de Madrás la India, el 22 de diciembre de 1887 y desde temprana edad muestra un talento especial para las matemáticas. La India luchaba por su independencia desde 1857. El héroe pacifista de la independencia fue Mahatma Gandhi, que vivió entre 1869 y 1948. Ramanujan no conoció la independencia de la India, que se produjo el 15 de agosto de 1947.

García (2008) [9] afirma que dos fueron las contribuciones más importantes de Ramanujan a las matemáticas, por un lado la reconstrucción de las bases de la teoría de números y por otro lado innumerables formulas y teoremas originales, desarrolló potentes expresiones para calcular pi (Pérez, 2008) [7] y avances notables sobre los números Primos.

El enero de 1913, Ramanujan, alentado por Narayana Iyer, escribe una carta con sus descubrimientos a tres profesores de Cambridge, H. F. Baker, E. W. Hobson y Godfrey Hardy. Sólo le respondió Hardy, quien, como Baker y Hobson, estuvo a punto de romper la carta. Hardy y su colaborador John Edensor Littlewood, se dispusieron a descifrar la lista de 120 fórmulas y quedaron cautivados [9].

A partir de entonces, Hardy arregla un viaje a Inglaterra para Ramanujan alrededor de 1916, Allí Ramanujan escribe sus trabajos más importantes en colaboración con el notable matemático G. Hardy. Durante su estancia en Inglaterra, Ramanujan contrajo Tuberculosis y muere en 1920 [10]. López (2014) [8] comenta, que durante su estancia en Cambridge Ramanujan recibió las siguientes distinciones:

•En 1916 Cambridge concede a Ramanujan el título de Bachelor in Arts, que corresponde al título de licenciado o graduado.
• En 1917 fue nombrado miembro de la London Mathematical Society.
• En 1918 se le eligió Fellow de la Royal Society y Fellow del Trinity College de Cambridge, con un buen sueldo y sin obligaciones. Fue el primer hindú en recibir esa distinción.

Partición De Un Número Entero

Una partición de n es una representación de n como suma de enteros positivos (Sáez, 2013 [4, pág. 8]).
Ejemplo.Dado n = 5, tenemos todas las posibles representaciones de 5:

5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1;
5 = 2 + 1 + 1 + 1;
5 = 2 + 2 + 1;
5 = 3 + 1 + 1;
5 = 3 + 2;
5 = 4 + 1;
5 = 5.

El número de particiones para el 5 es entonces 7.

Definición de Función de Partición

Según (Sáez, 2013) [4], La función partición de n, p(n), es el número de veces diferentes que se puede escribir un número dado n como suma de números enteros positivos.

Ejemplo.
Dado n = 4, tenemos todas las posibles representaciones de 4:
4 = 1 + 1 + 1 + 1;
4 = 2 + 1 + 1;
4 = 2 + 2;
4 = 3 + 1;
4 = 4.

El número de particiones para el 4 es entonces 5.

Cabe recalcar, que dos representaciones con los mismos sumandos en orden distinto, representan la misma partición de n. Por ende, los elementos de la partición se ordenan de forma decreciente, además por convención p (0) = 1; p (m) = 0 con m entero negativo.
Calculando más valores de la función partición, p(n) para n ≥ 0, obtenemos la siguiente sucesión de números [1]:

1, 1, 2, 3, 5, 7, 11, 15, 22, 30, 42, 56, 77, 101, 135, 176, 231, 297, 385, 490, 627, 792, 1002, 1255, 1575, 1958, 2436, 3010, 3718, 4565, 5604, 6482, 8349, 10143, 12310, 14883, 17977,…

Hardy y Ramanujan lograron obtener una fórmula asintótica (Finch, 2004 [2, pág. 2]) para el número de particiones que se considera exacta si se admiten series infinitas como se muestra en la Figura 1. La fórmula fue perfeccionada años más tarde por Rademacher con la intención de obtener una fórmula exacta.En la Figura 1.4, se muestra, a partir de una tabla como se aproxima la fórmula de Hardy – Ramanujan para las particiones de un entero n.

Definición de Triángulo

Según Galdós (2000) [5], un Triángulo se caracteriza por tener tres lados, tres ángulos internos y tres ángulos externos (prolongando sus lados) como podemos apreciar en la figura 1.3. Los lados son segmentos de recta y los ángulos son aberturas comprendidas entre dos rectas que tienen un punto en común denominado vértice.

Clasificación de Triángulos

Los triángulos pueden clasificarse de diversas maneras [5], una de las categorías más esenciales es en base a la medida de sus lados, donde podemos encontrar al Triángulo Equilátero que tiene sus tres lados iguales., Triángulo Isósceles que tiene dos lados iguales y finalmente Triángulo Escaleno donde todos sus lados son diferentes.Fórmulas Para Calcular El Área y Perímetro De Un Triángulo Equilátero.

La fórmula del perímetro (P) para cualquier Triángulo es: P = a + b + c, donde a, b, c, representan sus lados. Para el caso del Triángulo Equilátero; en el que todos sus lados son iguales, se simplifica a: P = 3a debido a que se cumple la igualdad: a = b = c.

La Fórmula del Área (A) para cualquier Triángulo es: A = (b * h) / 2, donde b representa la base y h la altura [6].

Teorema 1.

Sea un Triángulo Equilátero con lado unitario (a = b = c = 1), Perímetro (P) y Área (A).

Demostración

Sea un Triángulo Equilátero con lados unitarios (a = b = c = 1), altura (h), Perímetro (P) y Área (A).

Definimos área del triángulo (A), base o lado (b) y altura (h)

Por lo tanto la razón del área al perímetro de un triángulo equilátero (A/P) con lado unitario es:

La Fórmula Asintótica de Hardy – Ramanujan Para El Número De Particiones De Un Entero

Según expresa Chamizo (2006) [3], el método del círculo se remonta a 1918 cuando Hardy y Ramanujan lo introdujeron para estudiar las particiones. Mediante esta técnica analítica, se pueden abordar problemas aditivos cuando heurísticamente se esperan muchas soluciones. Hardy y Ramanujan, encuentran esta asombrosa y bella aproximación que se aprecia en la figura 1.4, y que involucra a constantes como Pi, el número de Euler y otros números irracionales, todo ello gracias al método del círculo.

El método del círculo comienza con la fórmula integral de Cauchy que se observa en la figura 1.8, y a partir de la aproximación de singularidades se pueden obtener expresiones como la de la figura 1.7.

Descripción De La Relación De Un Triángulo Equilátero Con lado unitario y la aproximación de Hardy – Ramanujan para el número de particiones.

En base al teorema 1, y la fórmula asintótica de Hardy Ramanujan para el número de particiones, podemos encontrar una relación en base a una constante.

En el año 2018 la relación se registra en la enciclopedia en línea de secuencias enteras (OEIS), bajo el registro A020805 como se muestra en la sección de comentarios de la figura 1.9.

Conclusiones

• En el presente trabajo demostró que la razón del área al perímetro (/) de un triángulo equilátero con lado unitario es igual a la constante /4*√ , constante matemática que también aparece como parte de la fórmula asintótica de Hardy – Ramanujan para el número de particiones de un entero.

 

• El método del círculo se remonta a 1918 gracias a los trabajos de matemáticos como Hardy y Ramanujan, quienes lo trabajaron para estudiar las particiones como una técnica analítica.

 

• Hardy y Ramanujan, usaron el método del círculo (basado en la integral de Cauchy) para abordar problemas aditivos cuando heurísticamente se esperan muchas soluciones, esto les permitió encontrar una fórmula asintótica para el número de particiones de un entero la cual involucra a constantes como Pi, el número de Euler y otros números irracionales.

Recomendaciones

• Se propone profundizar en el estudio de otras entidades geométricas (polígonos de más de tres lados) en relación a la razón de su Área y Perímetro, con el firme objeto de hallar nuevas conexiones con otros aportes matemáticos.

• Se recomienda profundizar en el estudio del método del círculo; para hallar una explicación en torno a la relación de la razón del área y perímetro un triángulo equilátero unitario con la fórmula asintótica para las particiones de un número entero de Hardy – Ramanujan.

• Se sugiere inculcar estos conocimientos en los cursos de trigonometría y geometría, con el firme objetivo de acrecentar el acervo matemático de nuestros estudiantes y así incentivar al análisis, la reflexión y la búsqueda de nuevos conocimientos.

 

Referencias bibliográficas

[1] Sloane, N. J. A. On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. A020805, A000041.
[2] Finch, S. R. Integer Partitions. Cambridge Univ. Press. 2004.
[3] Chamizo, F. El Diablo De Los Números: El Método Del Círculo. La Gaceta De La RSME, Vol. 9.2 (2006).
[4] Sáez, A. Función de Partición. Universidad de Valencia España. 2013.
[5] Galdós, L. Consultor Matemático Geometría y Trigonometría. Ed. Cultural. 2000.
[6] Ortiz, J. Matemáticas I. Ed. Cultural. 2007
[7] Pérez, A. Revista Suma. Ramanujan y El Número Pi. Nº. 57. De Cabeza. 2008
[8] López, M. Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales. Ramanujan: Matemático genial desde la pobreza extrema. Vol. 107, Nº. 1-2, Madrid. 2014.
[9] García, F. Matemáticos Precoces. Autores Científicos Técnicos y Académicos. España. 2008.
[10] Corrales, C. Ramanujan. Números: Revista Didáctica de las Matemáticas. España. 2009.
[11] Cultura Científica (2020). Particiones: Hardy y Ramanujan. [Figura 1.2]. Recuperado de https://culturacientifica.com/2019/08/14/particiones-hardy-y-ramanujan/