Tan cerca…
El concepto de la distancia es bien conocido por todos y todas. Se trata de una magnitud de uso común con la que tratamos a diario. Su interpretación no guarda secretos: indica la cercanía (en metros, kilómetros, etc) entre un punto A y otro punto B. Sin embargo, aunque las propiedades que la defi nen son más que entendidas por cualquiera, no todos conocen su definición matemática:
Una distancia sobre un espacio X es una función real d: X × X → [0,+∞) que cumple las siguientes tres condiciones:
- La distancia de un punto a otro es 0 si y sólo si ambos puntos son iguales, es decir, d(x,y) = 0 ⇐⇒ x = y
- La distancia de un punto x a otro y es la misma que de y a x, luego d(x,y) = d(y,x). Esto quiere decir que la distancia es simétrica.
- Si para ir de x a z nos entretenemos en pasar por otro punto y, entonces recorremos más (o igual) distancia que si vamos directos de x a z. Es decir, d(x,z) ≤ d(x,y) + d(y,z). Esta desigualdad se conoce como la desigualdad triangular.
Un ejemplo de este concepto sería la distancia euclídea, la cual se define mediante
donde (x1,y1,z1) y (x2,y2,z2) son las coordenadas de dos puntos en el espacio. El valor que se obtiene del cálculo no es nada más y nada menos que la distancia ordinaria (la que mediríamos con una regla) que hay entre ambos puntos[1].
Figura 1 Distancia entre dos puntos del plano cartesiano:
Ilustración de Pablo Martínez
…y tan lejos
Sin embargo, muchas veces este concepto no nos es válido para reflejar otras situaciones cotidianas que también están relacionadas con la cercanía.
Por ejemplo, ascender a la cima de Aralar desde el pueblo de Uharte Arakil siempre es más costoso (ya sea en esfuerzo como en tiempo) que su descenso. De la misma manera, si colocamos una canica en una txirrista o tobogán, esta caerá de un punto x a otro más bajo y, pero nunca al revés. O, si vivimos en un primero y nos quedamos encerrados siempre nos queda la opción de descolgarnos de la ventana, mientras que si nos hemos dejado las llaves y queremos entrar, lo de subir y entrar por el balcón no siempre sea viable.
Ilustración de Pablo Martínez
En otros contextos sucede de manera similar. En el deporte por ejemplo, mejorar nuestra marca personal siempre cuesta y supone un tiempo y esfuerzo, sin embargo perder la forma siempre suele ser más llevadero…
En todos estos casos es claro que no se cumple la propiedad (ii) de simetría: d(x,y) d(y,x). (Además, en el caso de la canica, por ejemplo, podríamos entender que tampoco se cumple la condición (i), puesto que la canica de desplaza de x a otro punto más bajo y por sí sola, sin esfuerzo). Así, en estos casos tendríamos una versión débil de la ‘distancia’, una versión para la cual se cumplen las propiedades (i) y (iii) pero no la (ii): las quasimétricas o quasi-distancias[2].
Este concepto juega un papel importante en diferentes áreas científicas, como por ejemplo en la computación.
[1] El lector puede tratar de demostrar que, efectivamente, este cálculo indica la distancia ordinaria sin más que haciendo uso del teorema de Pitágoras.
[2] Si tampoco se cumple la condición (i) entonces tenemos una quasi-pseudom´etrica o quasi-pseudodistancia
