«Un matemático, como un pintor o un poeta, es un fabricante de modelos. Si sus modelos son más duraderos que los de estos últimos, es debido a que están hechos de ideas. Los modelos del matemático, como los del pintor o los del poeta deben ser hermosos. La belleza es la primera prueba; no hay lugar permanente en el mundo para unas matemáticas feas»

– Godfrey Harold Hardy (1877-1947)

INTRODUCCIÓN

             Un método clásico para encontrar Números Primos, inculcado en las aulas académicas a nivel de bachillerato en la Materia de Matemáticas es  la Criba de Eratóstenes, que consiste en  un algoritmo que permite hallar a los Números Primos menores a un número natural “n”.

Los Números Primos son entidades matemáticas de suma importancia, pues son los ladrillos de los números naturales, es decir, cualquier número natural compuesto, puede descomponerse como multiplicación de Números Primos, por ejemplo 33 = 3*11. Desde tiempos antiquísimos, estos Números han fascinado a los matemáticos de todas las razas, pues el orden de su distribución aun sigue siendo un misterio, en la actualidad, las entidades primales se usan en la seguridad informática, por ejemplo, en el algoritmo RSA que se basa en ellos para codificar transacciones digitales.

Algoritmo de Eratóstenes²

Se forma una tabla con todos los números naturales comprendidos entre 2 y n, y se van tachando los números que no son primos, el método comienza con el 2, se tachan todos sus múltiplos; luego se comienza de nuevo, cuando se encuentra un número entero que no ha sido tachado, ese número es declarado Primo, y se procede a tachar todos sus múltiplos, y así sucesivamente el proceso termina cuando el cuadrado del mayor número confirmado como primo  no lo es, tal como se aprecia en la imagen I.

El Autor de la criba para Números Primos fue Eratóstenes³, quien nació en Cyrene (Libia) en el año 276 a. C., trabajó en diversos campos como la astronomía, la historia, la literatura y las matemáticas. Estudió en Alejandría y Atenas, y alrededor del año 255 a. C fue el tercer director de la Biblioteca de Alejandría. Una de sus principales contribuciones a la ciencia y a la astronomía fue su trabajo sobre la medición de la Tierra.

El Método Alternativo

Comenzaremos diciendo que este método, tiene la capacidad de cribar a los Números Primos mayores o iguales a cinco, enunciamos los pasos de la siguiente manera, y recalcamos que hace uso de las funciones 6n+1 y 6n-1:

• Elegimos hasta que número natural queremos realizar una búsqueda de Números Primos, al número seleccionado le llamaremos cota superior “b”, de tal manera que el intervalo de búsqueda estará comprendido en 5<=X<=b.
• A la cota superior “b” calculada en el paso 1), la dividiremos entre seis y al resultado obtenido le aplicamos un redondeo al entero inmediato(n=b/6), al número obtenido lo representaremos con “n”.
• Dibujaremos una tabla que contendrá tres columnas principales, en la primer columna realizamos la tabla de multiplicar del 6 hasta “n”, (valor obtenido en el paso dos), en la segunda columna para cada resultado de la primer columna restamos la unidad y en la tercer columna para cada resultado de la primer columna sumamos la unidad. 

Los Pivotes serán valores de la columna dos y tres que al multiplicarse por si mismo y por los sucesivos números de las columnas en donde se encuentran, deben arrojar valores que también están contenidos en las  susodichas columnas, los cuales hay que tachar, cuando los productos de los pivotes arrojen valores que ya no se encuentran en sus columnas, los valores que no hayan quedado sin tachar  serán Números Primos.

Un Ejemplo

• Encontrar Números Primos hasta el Número 100, (El intervalo se fija en 5<=X<=100).
• n=b/6 = 100/6 =16.66…=17.
• Tabla

Los Pivotes son 5 y 7, y los resultados a tachar de la tabla en base a las multiplicaciones efectuadas son los siguientes:En el siguiente apartado, agregamos el código del ejemplo de este algoritmo, para  su ejecución en el programa denominado Wolfram Mathematica, en donde hacemos uso de la notación de Conjuntos.

 CONCLUSIONES

•  El Método expuesto en el presente material puede servir como apoyo en la Materia de Matemáticas a la hora de estudiar a los Números Primos.
• Encontrar Números Primos a través del algoritmo expuesto, es una tarea aún más simple que la Criba de Eratóstenes, pues su mejora radica en el hecho de no explorar a todos lo Números que se encuentran en el rango establecido.
• El algoritmo presentado puede enseñarse de manera paralela al de la Criba de Eratóstenes en las Aulas Académicas, permitiendo diversificar los caminos para encontrar Números Primos en un determinado intervalo.
• Es posible programar en algún lenguaje de programación este algoritmo y así poder cribar a los Números Primos de manera automatizada.
• Como ventaja tenemos que los tiempos se reducen en relación a la Criba de Eratóstenes.
• La posible desventaja sería que, entre mayor sea la cota superior del intervalo, más pivotes se han de utilizar y las multiplicaciones aumentan en este algoritmo de búsqueda Primal.