RESUMEN.

En el presente artículo se describe una peculiar relación entre un triángulo rectángulo isósceles  y la constante Pi.Se relaciona el área y el perímetro de un triángulo isósceles de lado unitario para obtener una buena aproximación de la constante matemática más famosa de todos los tiempos.

AUTOR

José de Jesús Camacho Medina

«La matemática es la ciencia del orden y la medida, de bellas cadenas de razonamientos»

Descartes  (1596 – 1650) Matemático Francés

INTRODUCCIÓN

         Pi o simplemente la Constante Pi, es uno de los más famosos y conocidos números en el mundo de las Matemáticas.Desde temprana edad comenzamos a familiarizarnos con esta constante cuando nuestros Maestros de Primaria y Secundaria nos dicen que en cualquier círculo, Pi es la división del perímetro o longitud de la circunferencia con el diámetro de la misma.Lo observamos en la figura 1.

Figura 1. «Como encontrar PI en un círculo»

De Pi podemos decir muchas cosas, entre ellas que es un número irracional y que sus cifras son infinitas y no periódicas(no hay ciclos repetitivos de dígitos).Que desde tiempos antiguos, matemáticos de todas las razas comenzaron a encontrar buenas estimaciones de este número, hablamos de civilizaciones como la Egipcia, Mesopotámica o Griega entre muchas otras.

Los primeros dígitos de Pi son: 3.1415926535897932384626433832795028841971693993751….No obstante,  nuestros Maestros nos piden truncar sus cifras a la hora de realizar algunos cálculos escolares en lo que concierne al área o perímetro de algún círculo, y solemos  aproximar este número a  3.14 o simplemente 3.1416.

Esta constante suele emplearse en Matemáticas, Física e Ingeniería, sobre todo cuando aparecen conceptos que relacionan a círculos o esferas, pero también aparece en modelos matemáticos que describen el comportamiento de algunos procesos en el universo como es el caso la constante cosmológica, el principio de incertidumbre de Heisenberg o en la ecuación de campo de Einstein de la Relatividad General.

A lo largo de los años, y al ser una constante con decimales infinitos,  los matemáticos han encontrado fórmulas y buenas aproximaciones a este número, por mencionar algunas de las mentes brillantes en este rubro:

• John Wallis
• Machin
• Leibniz
• Isaac Newton
• Leonard Euler
• Ramanujan
• David and Gregory Chudnovsky

Figura 2. «El Matemático Inglés Wallis y su desarrollo para encontrar Pi»

También llamada la constante de Arquímedes -por ser este uno de los matemáticos que hace más de dos mil años halló aproximaciones al circunscribir o inscribir polígonos de n – lados-, pi es una constante que gracias a la era computacional y solo hasta el año 2019 se le han podido encontrar sus primeras 31 000 000 000 000  cifras decimales.

A pesar que pi es una constante matemática y no física, recientes estudios apuntan que esta constante pudiera estar presente  en el sector de la física cuántica, particularmente en la interpretación de los estados energéticos de los átomos de hidrógeno según explica David Pérez, investigador del Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT) de Madrid España.

TRIÁNGULO RECTÁNGULO ISÓSCELES 

En matemáticas, un triángulo rectángulo isósceles es aquel que posee dos catetos de la misma longitud y ángulos  interiores son de: 45°, 45° y 90°. En este tipo de triángulo, la hipotenusa mide  √ 2  veces la longitud del cateto.En la figura 3 podemos observamos un triángulo con estas características:

Figura 3. «Ejemplo de un triángulo rectángulo isósceles».

RELACIÓN DEL TRIÁNGULO RECTÁNGULO ISÓSCELES CON CATETO UNITARIO Y LA CONSTANTE PI

En la enciclopedia en línea de secuencias enteras (oeis.org) aparece la entrada A100954: «Decimal expansion of 7/2 – sqrt(2)/4». En ella se habla de una aproximación a la constante matemáticas Pi, tal como se muestra en la figura 4.

Figura 4. «Entrada A100954 como aproximación a PI en la oeis.org»

En el año 2018 y como producto de mis investigaciones; encontré un vínculo entre un triángulo rectángulo isósceles de cateto unitario con esta aproximación a la constante Pi.Tal aporte aparece registrado en la enciclopedia en línea de secuencias enteras, en la sección de comentarios de la entrada A100954 como se aprecia en la figura 5.

Figura 5. «Registro en la sección de comentarios de la relación entre un triángulo  rectángulo con catetos unitarios y la aproximación de PI de la entrada A100954 en la oeis.org»

DEMOSTRACIÓN

La constante: 3.1464466094067262377995778189475754…Considerada como una aproximación a Pi, es tres más la razón del área (A) al perímetro (P) de un triángulo rectángulo isósceles con catetos unitarios

3 + A / P = 3 + (1/2) / (2 + √2) 

Sea un triángulo rectángulo isósceles con catetos a = b = 1 y c=√2  como el que se precisa en la figura 3.

El perímetro del triángulo es: P = 1 + 1 + √2 = 2 + √2

El Área del triángulo es: A = (1*1)  / 2 = 1 / 2

Por lo tanto la razón A / P es: (1/2) / (2 + √2) = 0.1464466094067262377995778189475754..

Tal razón al sumarle tres unidades origina la aproximación de Pi: 3.14644660940672623779957754…

Si restamos a Pi tal aproximación obtenemos la siguiente precisión:

Pi – (3 + (1/2) / (2 + √2) ) = 0.004853955816932999336934435668072596160412631780657160730…

CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

• PI es considerada una de los números más importantes por sus implicaciones en los campos de la matemática, la física e Ingeniería, el cálculo de sus cifras ha sido una tarea intelectual de varios siglos.
• Encontrar aproximaciones a la constante  PI mediante expresiones simples ha sido motivo de gran interés por parte de los estudiosos de la matemática.
• Se sugiere ampliar el estudio de este tipo de razones o relaciones Área / Perímetro en otras entidades geométricas con el fin de hallar otras posibles conexiones con esta constante matemática.

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

• [1] Sloane, N. J. A. On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. A020805, A100954
• [2] El País(2015).El número pi conecta por sorpresa la física cuántica con las matemáticas. Recuperado de: https://elpais.com/elpais/2015/11/10/ciencia/1447159566_647384.html
• [3] Wikipedia en Español(2020).Número Pi. Recuperado de: https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_%CF%80
• [4] Matematical VM(2020). Imagen de Pi. Recuperado de: http://matematicalvm.blogspot.com/p/piday.html
• [5] Wikipedia en Español(2020).Triángulo Rectángulo. Recuperado de: https://es.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A1ngulo_rect%C3%A1ngulo
• [6] Citas y Frases (2020). Frases Famosas: Descartes. Recuperado de https://matesnoaburridas.wordpress.com/frases-famosas
• [7] Parque Ciencia(2013). De dónde salió el número Pi. Recuperado de https://parqueciencia.wordpress.com/2013/04/13/de-donde-salio-el-numero-pi/