Una historia matemáticamente interesante.

Se cuenta que en un cierta localidad únicamente existen dos periódicos para que la población esté informada, por la escasez del papel se han visto en la necesidad de imprimir los dos periódicos en la misma hoja (uno en el anverso y el otro en el reverso), uno de los diarios tuvo la idea de que para que se anuncien más productos con él que con su competencia poner como encabezado siempre: “Sólo en esta página encontrarás la verdad” (con esta frase pretende de manera indirecta desacreditar la veracidad de lo que publica  el otro periódico que es su competencia), pero el otro periódico respondió poniendo esa misma frase como encabezado de su diario: “Sólo en esta página encontrarás la verdad”.

Ante esto, los  productores  y comerciantes del lugar quedaron desconcertados, ya que ellos desean anunciar sus productos y servicios únicamente en el diario que diga la verdad, por lo que van con la autoridad competente y le piden que obligue a que se quite la leyenda de los diarios ya que, al ponerla uno deja en duda la veracidad del otro y como ambos tienen dicha leyenda la veracidad de ambos diarios (que además son los únicos), está en duda.

La autoridad que regula los diarios, se dirige a los dueños de los periódicos  y les solicita retiren su frase inicial, pero estos apelando a la libertad de expresión y a que en realidad están exaltando las virtudes de su publicación se niegan.

La autoridad debe encontrar una solución, pero no tiene cooperación de los dueños, al cabo de un tiempo tiene la solución al conflicto, ¿pero cuál puede ser?, si ambos diarios se niega a quitar la frase inicial que pone en duda la veracidad del otro diario y que además ambas frases no podrían ser simultáneamente ciertas para ambos diarios (ya que de ser cierta para uno no podría ser cierta para el otro),…a menos que,… entonces fue que la autoridad del lugar auxiliándose de la matemática encontró, la solución:

“Los dos diarios, los cuales se encuentran impresos en la misma hoja por razones de escasez de papel en nuestra región, se venderán a partir de ahora en forma de cinta o banda de Möbius, de esta manera la sentencia que dice: “Sólo en esta página encontrarás la verdad”, será cierta para ambos todos los días y aparecerá en lo que publiquen sin poner en tela de juicio la veracidad de lo publicado en el otro diario.

Figura 1

A continuación presentaremos lo que es una Banda de Möbius

Construcción

Si se desea construir una banda o cinta de Möbius es necesario tomar una tira de papel darle media vuelta en uno de sus extremos y pegarla con el otro extremo.

Figura 2

Propiedades

1. La banda de Möbius posee una sola cara (pintando la superficie desde el punto que se decida iniciar y recorriéndola toda, no habrá región que no haya sido pintada. y un solo borde, lo cual se verifica al trazar dentro de ella una línea que se extienda a lo largo de la misma, al trazar dicha línea regresaríamos al punto de partida.

2. Sí sobre una cara de la tira de papel con la que se va a formar la banda de Möbius se escribe una parte de una sentencia o frase (anverso) y sobre la otra cara (reverso) la continuación de dicha sentencia o frase, está tendría que estar escrita con un giro de 180° con respecto a la  escrita en el anverso y comenzando su escritura de derecha a izquierda para que al formarse la banda de Möbius se pudiera leer la sentencia completa, esto nos habla de que la banda de Möbius es una superficie no orientable.

Ejemplo: 

A continuación damos una sentencia o frase y la manera en que debería ser escrita en el anverso (su primera parte) y en el reverso (su segunda parte) de la tira de papel con la que se pretende construir una banda o cinta de Möbius para que al construirla se pueda leer completa la sentencia o frase.

Sentencia o frase:

“El sol calienta más cuando es verano”

Figura 3

Figura 4

Figura 4.

1. Sí se corta una banda de Möbius a lo largo, se puede obtener una banda más larga que tiene dos vueltas siempre que el corte se haya realizado en la mitad exacta del ancho de la cinta, si se vuelve a cortar a lo largo por el centro del ancho de la banda, se obtienen otras dos bandas entrelazadas, y al repetir el proceso se pueden obtener más bandas entrelazadas.

Si el corte no se hace a la mitad del ancho de la banda se obtienen dos cintas entrelazada con diferente longitud, una de la misma longitud de la original y la otra del doble de longitud.

Ecuaciones para representar la banda de Möbius

La banda de Möbius es una superficie reglada, representada como subconjunto del espacio euclídeo de dimensión tres mediante las ecuaciones paramétricas:

Su anchura es unitaria, su circunferencia central tiene radio 1, se encuentra en el plano coordenado OXY, centrada en el origen de coordenadas.

Aplicaciones de la banda de Möbius

• Como cinta transportadora de equipaje en aeropuertos reduciendo el desgaste de la banda a la mitad.

• En impresoras de tinta, ya que algunas impresoras de tinta tienen enrollada la cinta que va dentro del cartucho en forma de banda de Möbius para entintar de mejor manera.

• En la escultura, pintura y arquitectura también se ha hecho uso de la banda de Möbius.

Figura 5

Banda de Möbius en la Industria

Figura 6

Banda de Möbius en la Ingeniería

Figura 7

Figura 7.

Banda de Möbius en el Arte

Bibliografía.

[1] FLAPAN, E. (2000). When Topology Meets Chemistry: A Topological Look at Molecular Chirality. Mathematical Association of America. 

[2] PETRESIN, V. y LAURENT-PAUL R. (2002). The Double Möbius Strip Studies. Nexus Network Journal, 4, no.4.

 [3] PICKOVER, C. (2006). The Möbius Strip. Thunder’s Mouth Press. 

[4] SÉQUIN, C. To Build a Twisted Bridge. Preprint disponible en su página web http://members.tripod.com/vismath4/sequin/index.html