¿Es posible peinarme sin que se forme un remolino?

¿Cuántas veces os ha ocurrido que os levantáis por la mañana y con las prisas intentáis peinaros y se os queda ese remolino que parece imposible de peinar? Algunos pensaréis que ese remolino lo tenéis por causas genéticas o porque se os forma sin más en ese lugar de la cabeza, sin embargo poco o nada tiene que ver con la genética en este caso, sino más bien con las matemáticas.

Teorema de la bola peluda. Remolino de pelo.

Teorema de la bola peluda. Remolino de pelo.

Antes de realizar un razonamiento matemático de este hecho vamos a hacer algunas definiciones previas.

Un campo de vectores tangente sobre una superficie del espacio tridimensional  es una aplicación continua que asocia a cada punto de esa superficie del espacio un vector tangente a la misma en dicho punto.

Consideremos como superficie la esfera en el espacio, un campo definido sobre la esfera será una aplicación continua

f1

De tal forma que para cada punto p de la esfera, se tiene que X(p) es un vector del espacio, tangente a la esfera en ese punto p.

El teorema que nos explica porqué nos aparecen los remolinos al peinarnos es el conocido como Teorema de la Bola Peluda y su enunciado es el siguiente:

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f1

Un campo de vectores tangente. Entonces existe un punto p de la esfera , tal que X(p)=0. Es decir existe al menos un punto de la esfera en el que el campo de vectores es nulo.

¿Pero este resultado cómo se aplica a nuestra cabeza?

Pensemos en nuestra cabeza como una esfera (aunque realmente no sea así, pero nos sirve la comparación), y nuestro pelo peinado sería el campo de vectores tangente a la esfera. Entonces el Teorema de la bola peluda nos afirma que existe un punto en nuestra cabeza donde se forma un remolino.

Por tanto ese remolino que se nos forma mañana tras mañana no es algo genético y que nos ocurre a nosotros solos, sino que les pasa a todas las personas cuando intentan peinarse.

Este hecho es extensible a los animales, pensemos en un gato o un perro con todo su cuerpo lleno de pelo, este Teorema nos dirá que si intentamos peinarlos existirá un punto en su cuerpo donde se forme un remolino.

Pero, ¿Se puede aplicar este resultado matemático a otros aspectos cotidianos?

La respuesta es afirmativa, como podíais imaginar, otro ejemplo lo encontramos en la meteorología. Pensemos que la Tierra es similar a una esfera, y consideramos el viento como el campo de vectores sobre la Tierra, entonces el Teorema de la bola peluda nos dirá que siempre hay un punto en la Tierra donde no sopla el viento.

Físicamente los puntos donde la velocidad del viento es nula, se interpretan como ciclones o anticiclones. Por lo tanto el Teorema nos dirá que siempre existe un punto sobre la superficie de la Tierra en el que hay un ciclón o un anticiclón.

Teorema de la bola peluda en la meteorología

Teorema de la bola peluda en la meteorología

Esto no es realmente cierto porque el aire de la atmósfera tiene varias capas una encima de la otra y por lo tanto para que se produzca un ciclón o un anticiclón sobre un punto de la Tierra es necesario que el viento tenga velocidad nula en todos los puntos de las distintas capas sobre la vertical.

El Teorema de la bola peluda se cumple en cualquier esfera de grado par, sin embargo, si es posible peinar esferas peludas de dimensión impar.

Este teorema fue demostrado por primera vez por Luitzen Egbertus Jan Brouwer en 1912, y su demostración generaliza los resultados obtenidos anteriormente en el Teorema de la curva de Jordan.

Una de las consecuencias de éste Teorema de la Bola Peluda es el conocido Teorema del punto fijo de Brouwer, el cual asegura que toda aplicación continua de un conjunto convexo y compacto K de un espacio euclídeo con valores en K, tiene un punto fijo, es decir existe un punto «x» pertenciente a K, tal que «f(x)=x».

El origen de este teorema se atribuye a la observación por parte de Brouwer a una taza de café.

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Cuando echamos el azúcar y removemos, parece que siempre hay un punto inmóvil, de donde Brouwer deduce que  “en todo momento, hay un punto de la superficie que no ha cambiado de lugar”.

Autor: Francisco Morante Quirantes. @fdetsocial

Co-fundador del blog divulgativo de FdeT  

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