“Las matemáticas tienen belleza y romance. El mundo de las matemáticas no es un lugar aburrido en el que estar. Es un lugar extraordinario; merece la pena pasar el tiempo allí”.
[Marcus du Sautoy]
AUTORES DEL ARTÍCULO
José de Jesús Camacho Medina y Omar Rubén Camacho Medina: Sociedad Científica Fresnillense A.C.
INTRODUCCIÓN
En la ciudad de Fresnillo Zacatecas México, existe un monumento histórico que ha sido conocido a través de los años como “El Obelisco”, fue dedicado a la gesta heroica iniciada el 16 de septiembre de 1810. La columna de piedra y cantera es semejante a las egipcias y data del año de 1832. En él, encontramos las siguientes inscripciones3:
1.- “Este monumento que es dedicado a la gesta heroica iniciada el 16 de septiembre de 1810. Fue inaugurado el 12 de Noviembre de 1833. AFEHYAC. A. C. (Asociación Fresnillense de Estudios Históricos y Actividades Culturales, Asociación Civil.).
2.- Este Obelisco fue delineado y construido por el Sr. Ciriaco Yturribarria y donado por el Prefecto Político Sr. José María Linares sin gravamen de los fondos públicos al pueblo de Fresnillo.
3.- Siendo Presidente de la Republica el Excelentísimo Sr. General Antonio López de Santa Ana y Gobernador del Estado el Sr. Don Francisco García Salinas.
4.- Situación Geográfica.- Latitud 23º 10` 35“ – Norte longitud 102º 52`39“- Oeste declinación Magnética 10º 33`- La distancia en línea recta de la ciudad a algunos puntos de importancia geográfica son: al Meridiano de Greenwich 10,510 km.- al Polo Norte 7,424 km.- al Ecuador 2,574 km. – al Trópico de Cáncer 30 km.
Figura I “Monumento del Obelisco en Fresnillo, Zacatecas, México”
Para estimar distancias inaccesibles, la matemática nos ofrece un conjunto de principios matemáticos donde se relacionan conceptos como la semejanza de triángulos y la trigonometría, a continuación compartimos una serie de métodos que fueron utilizados para estimar la altura del monumento histórico conocido como: “El Obelisco” en Fresnillo, Zacatecas, México.
El primer Teorema de Tales se basa en la semejanza entre triángulos, lo cual significa que dos triángulos son semejantes cuando tienen sus ángulos respectivamente iguales y sus lados son proporcionales.
En la construcción de mapas y maquetas existe una importante aplicación del principio de semejanza, los topógrafos suelen hacer uso de la semejanza entre triángulos para medir distancias a lugares inaccesibles (Galdós, 1995).
Tales de Mileto fue un griego de la antigüedad, a quien se le atribuyen diversos aportes matemáticos como los teoremas geométricos que llevan su nombre, se dice que en un viaje a Egipto, visitó a las pirámides, y fue tanta su admiración que quiso saber su altura.
De acuerdo a la leyenda2, trató este problema con semejanza de triángulos (y bajo la suposición de que los rayos solares incidentes eran paralelos), pudo establecer una relación de semejanza (teorema primero de Tales) entre dos triángulos rectángulos, por un lado el que tiene por catetos (C y D) a la longitud de la sombra de la pirámide (conocido) y la longitud de su altura (desconocida), y por otro lado, valiéndose de una vara (clavada en el suelo de modo perfectamente vertical) cuyos catetos conocidos (A y B) son, la longitud de la vara y la longitud de su sombra, su idea se puede apreciar en la siguiente figura:
Figura II “Idea de Tales de Mileto para estimar la altura de pirámides”
En las siguientes imágenes, apreciamos algunas aplicaciones4 del también llamado primer teorema de Tales de Mileto para estimar alturas inaccesibles.
Figura III. “Estimación de la altura de la Torre Eiffel de Francia”
Figura IV. “Estimación de la altura de un edificio”
MÉTODO I “TEOREMA DE TALES”
PASOS.
- Acudir al lugar preferentemente a una hora donde la incidencia de los rayos del sol propicie que la sombra del monumento o lugar se proyecte de manera visible y en una posición cómoda para poder aplicar el teorema de tales.
- Hacer que la sombra de una persona coincida con la sombra del monumento o lugar en su parte final.
- Mediante cinta métrica medir la sombra del monumento o lugar así como la altura de la persona y la sombra que esta proyecta.
- Aplicar el Teorema de Tales.
En las siguientes imágenes ofrecemos el resultado obtenido tras aplicarlo en el monumento conocido como “El Obelisco” en Fresnillo.
Figura V. “Estimación de la altura del monumento denominado el Obelisco”
MÉTODO II: “USANDO PRINCIPIOS DE LA TRIGONOMETRÍA”
Este método consiste en el uso de la trigonometría básica, en este caso se hace uso de la función tangente, la cual relaciona al cateto opuesto y al cateto adyacente de un triángulo rectángulo.
PASOS.
- Se realiza una fotografía frontal del lugar o monumento del que se quiere estimar la altura.
- De manera presencial alguien tiene que acudir al lugar para medir (preferentemente con una cinta métrica de más de 5 metros) lo que viene siendo el cateto adyacente del triángulo rectángulo que se pretende formar, se busca una referencia para medirlo hasta cierto punto.
- En la fotografía obtenida en el paso I, se realiza un dibujo de un triángulo rectángulo y se mide el ángulo que forma el piso con la hipotenusa.
- Con estos datos es posible usar la función tangente, ahora se procede a despejar el cateto opuesto (el cual representaría la altura) se sustituyen los datos conocidos y finalmente tendremos una buena aproximación, como se muestra en la figura VI.
Figura VI. “Cálculo de la altura del Obelisco mediante trigonometría”
MÉTODO III: “IDENTIFICACIÓN DE PATRONES EN EL LUGAR”
Este método consiste en la identificación de patrones en el lugar o monumento, es decir, distancias que pueden medirse de manera accesible y que se reproducen continuamente, así que bastará con medir lo que está a nuestro alcance y mediante algunas sumas estimar la altura.
PASOS
- Se Inspecciona el lugar o monumento del que se quiere estimar la altura buscando distancias de fácil medición que presenten un patrón repetitivo.
- Mediante cinta métrica medir las distancias accesibles.
- Realizar un conteo de los patrones repetibles y con los datos obtenidos en el paso II, realizar las sumas necesarias.
En las siguientes imágenes se presenta un ejemplo de cómo estimar la altura del monumento llamado “El Obelisco” a través de esta metodología:
Figura VII. “Cálculo de la altura del Obelisco ”
De manera general se realizó lo siguiente:
- Por medio de una cinta métrica medimos la altura de la base del Obelisco, como se muestra en la imagen en color rojo, esta medición está a nuestro alcance sin ningún problema, al resultado de dicha longitud la llamaremos A=2.445m
- Después medimos la altura de una de las losetas rectangulares que en la imagen aparece en color azul (la primer loseta), se visualiza que las losetas son proporcionales salvo la última y la primera, contaremos el total de losetas, bastará con calcular la altura de una y multiplicarla por la cantidad total y agregarle la medición de la primera y última al resultado de este cálculo le llamaremos B=0.33m+9.2m+0.5m.
- Después medimos la distancia entre losetas, que parece ahondar entre 2 y 3 cm, sumaremos estas longitudes y al resultado le llamaremos C=0.72m.
- La altura del águila incluyendo su base rectangular D=0.7.
- Finalmente la altura estimada del obelisco sería sumar A+B+C+D=13.895 NUESTRO RESULTADO FUE DE: 13.895m, una medición muy cercana a lo que obtuvimos con el otro método basado en el teorema de Tales que fue de 13.81m.
CONCLUSIONES
- La matemática es una herramienta poderosa, pues nos permite a través de sus leyes y métodos modelar procesos y fenómenos para obtener información de gran importancia del mundo en el que nos desenvolvemos.
- El estudio de triángulos a través de los años, ha propiciado la generación de principios matemáticos que son de gran utilidad para realizar estimaciones y cálculos en las diversas tareas o actividades que realiza el hombre.
- El Teorema de Tales es una de las grandes joyas para estimar distancias inaccesibles, por ende el criterio de semejanza entre triángulos y las funciones trigonométricas se convierten en métodos elementales a la hora de estimar alturas de complejo alcance.
- Los resultados obtenidos en este material son aproximaciones a la distancia real del monumento histórico denominado “El Obelisco” de Fresnillo, Zacatecas, México.
- Historiadores de Fresnillo, desconocen la altura real del Obelisco, más según sus fuentes de documentación afirman, que esta pieza histórica tendría una altura entre 12 y 14 metros, por lo que nuestras estimaciones entran en ese rango.
- Las aplicación de diferentes métodos para estimar la altura del obelisco, fueron llevadas a cabo por los miembros fundadores de la Sociedad Científica Fresnillense A.C., José de Jesús Camacho Medina y Omar Rubén Camacho Medina.
DATOS PARA CITAR ESTE ARTÍCULO:
José de Jesús Camacho Medina, Omar Rubén Camacho Medina (2019). Estimación De Distancias Inaccesibles Mediante Principios Matemáticos [en línea]. Disponible en Revista MasScience: https://www.masscience.com/estimacion-de-distancias-inaccesibles-mediante-principios-matematicos/
BIBLIOGRAFÍA
- Consultor Matemático: “Geometría / Trigonometría” (1995). L. Galdós, 1995, Ed. Cultural, España.
- Wikipedia en Español (2018).Teorema de Tales. Recuperado de: https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Tales
- Los Relojes de Sol en Fresnillo, Bernardo del Hoyo Calzada. Recuperado el 25 de Julio de 2018: http://tobidelacampa.blogspot.com/2015/03/los-relojes-de-sol-de-fresnillo.html
- Aplicaciones del Teorema de Tales, Manuel Galán. Recuperado el 25 de Julio de 2018 de: http://matracas-liki.blogspot.com/2012/01/aplicaciones-del-teorema-de-thales en.html
